Номер 6.74, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.74. При каких значениях $a$ корни уравнений $x^2-5x+4=0$ и $2x-a=0$ образуют первые три члена геометрической прогрессии?

Для решения задачи сначала найдем корни каждого из уравнений.

1. Решим квадратное уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $4$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Также можно найти их через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

2. Решим линейное уравнение $2x - a = 0$.
Выразим $x$:
$2x = a \Rightarrow x_3 = \frac{a}{2}$.

Теперь у нас есть три числа, которые должны образовывать первые три члена геометрической прогрессии: $1$, $4$ и $\frac{a}{2}$. Обозначим члены прогрессии как $b_1, b_2, b_3$. Для любой геометрической прогрессии выполняется характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов, то есть $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Рассмотрим все возможные варианты расположения этих трех чисел в прогрессии.

Случай 1: Прогрессия имеет вид $1, 4, \frac{a}{2}$.
Здесь $b_1=1$, $b_2=4$, $b_3=\frac{a}{2}$.
Используя свойство прогрессии, получаем: $4^2 = 1 \cdot \frac{a}{2}$.
$16 = \frac{a}{2}$, откуда $a = 32$.

Случай 2: Прогрессия имеет вид $1, \frac{a}{2}, 4$.
Здесь $b_1=1$, $b_2=\frac{a}{2}$, $b_3=4$.
Используя свойство прогрессии, получаем: $(\frac{a}{2})^2 = 1 \cdot 4$.
$\frac{a^2}{4} = 4$, откуда $a^2 = 16$, следовательно $a = 4$ или $a = -4$.

Случай 3: Прогрессия имеет вид $\frac{a}{2}, 1, 4$.
Здесь $b_1=\frac{a}{2}$, $b_2=1$, $b_3=4$.
Используя свойство прогрессии, получаем: $1^2 = \frac{a}{2} \cdot 4$.
$1 = 2a$, откуда $a = \frac{1}{2}$.

Остальные три возможных порядка ($4, 1, \frac{a}{2}$; $4, \frac{a}{2}, 1$; $\frac{a}{2}, 4, 1$) не дадут новых значений для $a$, так как они приводят к уравнениям, которые уже были решены в случаях 1-3. Например, для последовательности $4, 1, \frac{a}{2}$ имеем $1^2 = 4 \cdot \frac{a}{2}$, что эквивалентно случаю 3.

Таким образом, мы нашли все возможные значения параметра $a$.
Ответ: $-4; \frac{1}{2}; 4; 32$.