Номер 6.78, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.78. Обратите бесконечную периодическую дробь в обыкновенную:

1) $1.21\overline{32};$

2) $0.27\overline{345};$

3) $3.\overline{31};$

4) $2.1\overline{4}.$

1) 1,21(32);
Чтобы обратить смешанную периодическую дробь $1,21(32)$ в обыкновенную, представим ее в виде суммы целой части и дробной части.
$1,21(32) = 1 + 0,21(32)$
Обозначим дробную часть как $x$:
$x = 0,21(32) = 0,21323232...$
Умножим $x$ на $100$, чтобы часть до периода оказалась слева от запятой:
$100x = 21,323232...$
Умножим $x$ на $10000$, чтобы сдвинуть влево от запятой часть до периода и один период:
$10000x = 2132,323232...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:
$10000x - 100x = 2132,3232... - 21,3232...$
$9900x = 2111$
$x = \frac{2111}{9900}$
Теперь вернемся к исходному числу:
$1,21(32) = 1 + x = 1 + \frac{2111}{9900} = \frac{9900}{9900} + \frac{2111}{9900} = \frac{12011}{9900}$
Ответ: $\frac{12011}{9900}$

2) 0,27(345);
Обозначим данную смешанную периодическую дробь как $x$:
$x = 0,27(345) = 0,27345345...$
В этой дроби до периода стоят 2 цифры ('27'), а в периоде 3 цифры ('345').
Умножим $x$ на $10^2 = 100$, чтобы сдвинуть часть до периода влево от запятой:
$100x = 27,345345...$
Умножим $x$ на $10^{2+3} = 10^5 = 100000$, чтобы сдвинуть влево от запятой часть до периода и один период:
$100000x = 27345,345345...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100000x - 100x = 27345,345... - 27,345...$
$99900x = 27318$
$x = \frac{27318}{99900}$
Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 6.
$x = \frac{27318 \div 6}{99900 \div 6} = \frac{4553}{16650}$
Ответ: $\frac{4553}{16650}$

3) 3,(31);
Представим число в виде суммы целой и дробной частей:
$3,(31) = 3 + 0,(31)$
Обозначим периодическую дробную часть как $x$:
$x = 0,(31) = 0,313131...$
В периоде 2 цифры, поэтому умножим $x$ на $10^2 = 100$:
$100x = 31,313131...$
Вычтем из $100x$ исходное $x$:
$100x - x = 31,3131... - 0,3131...$
$99x = 31$
$x = \frac{31}{99}$
Теперь добавим целую часть:
$3,(31) = 3 + \frac{31}{99} = \frac{3 \times 99}{99} + \frac{31}{99} = \frac{297 + 31}{99} = \frac{328}{99}$
Ответ: $\frac{328}{99}$

4) 2,1(4).
Представим число в виде суммы целой и дробной частей:
$2,1(4) = 2 + 0,1(4)$
Обозначим дробную часть как $x$:
$x = 0,1(4) = 0,1444...$
До периода стоит 1 цифра, умножим $x$ на $10$:
$10x = 1,444...$
В периоде 1 цифра, поэтому умножим исходное $x$ на $10^{1+1} = 100$:
$100x = 14,444...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 14,444... - 1,444...$
$90x = 13$
$x = \frac{13}{90}$
Теперь добавим целую часть:
$2,1(4) = 2 + \frac{13}{90} = \frac{2 \times 90}{90} + \frac{13}{90} = \frac{180 + 13}{90} = \frac{193}{90}$
Ответ: $\frac{193}{90}$