Номер 6.84, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.84. Упростите выражения:

1) $1 + \sin(\pi - \varphi)\cos(\frac{3\pi}{2} - \varphi)$;

2) $1 - \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi)\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \varphi)$;

3) $1 + \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}2\beta$;

4) $\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}2\alpha$.

1) $1 + \sin(\pi - \phi)\cos(\frac{3\pi}{2} - \phi)$
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами приведения.
Первый множитель: $\sin(\pi - \phi)$. Угол $(\pi - \phi)$ находится во второй четверти (если считать $\phi$ острым), где синус положителен. Так как мы отнимаем от $\pi$, название функции не меняется. Таким образом, $\sin(\pi - \phi) = \sin(\phi)$.
Второй множитель: $\cos(\frac{3\pi}{2} - \phi)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \phi)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Так как мы отнимаем от $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (косинус на синус). Таким образом, $\cos(\frac{3\pi}{2} - \phi) = -\sin(\phi)$.
Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$1 + (\sin(\phi)) \cdot (-\sin(\phi)) = 1 - \sin^2(\phi)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2(\phi) = \cos^2(\phi)$.
Ответ: $\cos^2(\phi)$

2) $1 - \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \phi)\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \phi)$
Применим формулы приведения.
Первый множитель: $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \phi)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \phi)$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Название функции меняется на кофункцию. Следовательно, $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \phi) = \text{ctg}(\phi)$.
Второй множитель: $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \phi)$. Угол $(\frac{\pi}{2} - \phi)$ находится в первой четверти, где котангенс положителен. Название функции меняется на кофункцию. Следовательно, $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \phi) = \text{tg}(\phi)$.
Подставим упрощенные выражения:
$1 - \text{ctg}(\phi) \cdot \text{tg}(\phi)$.
Мы знаем, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg}(\phi) \cdot \text{ctg}(\phi) = 1$.
$1 - 1 = 0$.
Ответ: $0$

3) $1 + \text{tg}\beta\text{tg}2\beta$
Представим тангенсы через синусы и косинусы: $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ и $\text{tg}2\beta = \frac{\sin2\beta}{\cos2\beta}$.
Выражение принимает вид:
$1 + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \frac{\sin2\beta}{\cos2\beta} = 1 + \frac{\sin\beta\sin2\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\cos\beta\cos2\beta + \sin\beta\sin2\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.
В числителе мы видим формулу косинуса разности: $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$. В нашем случае $A=2\beta$ и $B=\beta$.
$\cos2\beta\cos\beta + \sin2\beta\sin\beta = \cos(2\beta - \beta) = \cos\beta$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{\cos\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.
Сократив на $\cos\beta$ (при условии, что $\cos\beta \neq 0$), получим:
$\frac{1}{\cos2\beta}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos2\beta}$

4) $\text{ctg}\alpha - \text{ctg}2\alpha$
Представим котангенсы через синусы и косинусы: $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и $\text{ctg}2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.
Выражение принимает вид:
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.
Приведем к общему знаменателю $\sin\alpha\sin2\alpha$:
$\frac{\cos\alpha\sin2\alpha - \cos2\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$.
В числителе мы видим формулу синуса разности: $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$. В нашем случае $A=2\alpha$ и $B=\alpha$.
$\sin2\alpha\cos\alpha - \cos2\alpha\sin\alpha = \sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$.
Сократив на $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$), получим:
$\frac{1}{\sin2\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin2\alpha}$