Номер 6.81, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.81. Найдите значения тригонометрических функций угла $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

2) $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

3) $\text{tg}\alpha = 2\sqrt{2}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

4) $\text{ctg}\alpha = -2\sqrt{6}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1) Дано: $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в третьей четверти.

В третьей четверти косинус отрицателен ($\cos\alpha < 0$), тангенс и котангенс положительны ($\tan\alpha > 0, \cot\alpha > 0$).

Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.

Так как угол $\alpha$ в третьей четверти, выбираем отрицательное значение: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс.

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$, $\tan\alpha = \frac{3}{4}$, $\cot\alpha = \frac{4}{3}$.

2) Дано: $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй четверти.

Во второй четверти синус положителен ($\sin\alpha > 0$), тангенс и котангенс отрицательны ($\tan\alpha < 0, \cot\alpha < 0$).

Найдем $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.

Так как угол $\alpha$ во второй четверти, выбираем положительное значение: $\sin\alpha = \frac{5}{13}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс.

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $\sin\alpha = \frac{5}{13}$, $\tan\alpha = -\frac{5}{12}$, $\cot\alpha = -\frac{12}{5}$.

3) Дано: $\tan\alpha = 2\sqrt{2}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в первой четверти.

В первой четверти все тригонометрические функции положительны.

Найдем $\cot\alpha$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Найдем $\cos\alpha$ из тождества $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

$\cos^2\alpha = \frac{1}{1+\tan^2\alpha} = \frac{1}{1+(2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1+8} = \frac{1}{9}$.

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$.

Так как угол $\alpha$ в первой четверти, выбираем положительное значение: $\cos\alpha = \frac{1}{3}$.

Найдем $\sin\alpha$ из тождества $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, откуда $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$.

$\sin\alpha = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\cos\alpha = \frac{1}{3}$, $\cot\alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

4) Дано: $\cot\alpha = -2\sqrt{6}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в четвертой четверти.

В четвертой четверти синус и тангенс отрицательны ($\sin\alpha < 0, \tan\alpha < 0$), а косинус положителен ($\cos\alpha > 0$).

Найдем $\tan\alpha$.

$\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} = \frac{1}{-2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}$.

Найдем $\sin\alpha$ из тождества $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

$\sin^2\alpha = \frac{1}{1+\cot^2\alpha} = \frac{1}{1+(-2\sqrt{6})^2} = \frac{1}{1+24} = \frac{1}{25}$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{25}} = \pm\frac{1}{5}$.

Так как угол $\alpha$ в четвертой четверти, выбираем отрицательное значение: $\sin\alpha = -\frac{1}{5}$.

Найдем $\cos\alpha$ из тождества $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, откуда $\cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha$.

$\cos\alpha = (-2\sqrt{6}) \cdot (-\frac{1}{5}) = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $\sin\alpha = -\frac{1}{5}$, $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$, $\tan\alpha = -\frac{\sqrt{6}}{12}$.