Номер 6.77, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.77. Найдите сумму ряда:

1) $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + ...;$

2) $1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + ...$

1) Данный ряд $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$ является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Для нахождения знаменателя прогрессии $q$ разделим второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/3}{1} = -\frac{1}{3}$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, ряд сходится, и его сумму можно вычислить по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) Данный ряд $1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + \dots$ также является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/5}{1} = \frac{1}{5}$.

Модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$, следовательно, ряд сходится. Для нахождения его суммы воспользуемся той же формулой:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$:

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.