Номер 6.79, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.79. Три числа, первое из которых равно 1, образуют геометрическую прогрессию. Если одно из этих чисел удвоить и взять их в указанном порядке, то получим арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Пусть три искомых числа образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. По условию, первый член равен 1, то есть $b_1 = 1$. Тогда три числа имеют вид: $1, q, q^2$.

Если одно из этих чисел удвоить, то новая последовательность станет арифметической прогрессией. Для любой арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3$ выполняется свойство: средний член равен полусумме крайних, то есть $2a_2 = a_1 + a_3$. Рассмотрим три возможных случая в зависимости от того, какое число было удвоено.

Случай 1: Удвоено первое число.

Новая последовательность чисел: $2, q, q^2$.
Так как эти числа образуют арифметическую прогрессию, должно выполняться равенство:
$2 \cdot q = 2 + q^2$
Запишем это как квадратное уравнение:
$q^2 - 2q + 2 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Удвоено второе число.

Новая последовательность чисел: $1, 2q, q^2$.
Так как эти числа образуют арифметическую прогрессию, должно выполняться равенство:
$2 \cdot (2q) = 1 + q^2$
$4q = 1 + q^2$
Запишем это как квадратное уравнение:
$q^2 - 4q + 1 = 0$
Найдем корни этого уравнения по формуле:
$q = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$
Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
$q = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
Мы получили два возможных действительных значения для знаменателя $q$. Для каждого из них найдем соответствующий набор чисел.
1) Если $q = 2 + \sqrt{3}$, то исходные числа:
$b_1 = 1$
$b_2 = q = 2 + \sqrt{3}$
$b_3 = q^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$
Таким образом, один из наборов чисел: $1, 2 + \sqrt{3}, 7 + 4\sqrt{3}$.
2) Если $q = 2 - \sqrt{3}$, то исходные числа:
$b_1 = 1$
$b_2 = q = 2 - \sqrt{3}$
$b_3 = q^2 = (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$
Таким образом, второй набор чисел: $1, 2 - \sqrt{3}, 7 - 4\sqrt{3}$.

Случай 3: Удвоено третье число.

Новая последовательность чисел: $1, q, 2q^2$.
Так как эти числа образуют арифметическую прогрессию, должно выполняться равенство:
$2 \cdot q = 1 + 2q^2$
Запишем это как квадратное уравнение:
$2q^2 - 2q + 1 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение также не имеет действительных корней. Этот случай невозможен.

Итак, мы нашли два набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $1, 2 + \sqrt{3}, 7 + 4\sqrt{3}$ или $1, 2 - \sqrt{3}, 7 - 4\sqrt{3}$.