Номер 6.85, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.85. Докажите тождества:

1) $(1+\text{ctg}^2\alpha)(1-\text{sin}^2\alpha)=\text{ctg}^2\alpha$;

2) $(1+\text{tg}^2\beta)(1-\text{cos}^2\beta)=\text{tg}^2\beta$;

3) $\frac{\text{sin } x + \text{cos } x\text{tg}x}{\text{cos } x + \text{sin } x\text{ctg}x} = 2\text{tg}x$;

4) $\frac{1}{\text{tg}^2 y + 1} - \frac{1}{\text{ctg}^2 y + 1} = \text{cos}2y$.

1) Докажем тождество $(1 + \text{ctg}^2\alpha)(1 - \sin^2\alpha) = \text{ctg}^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, используя основные тригонометрические тождества: $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ и $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$(1 + \text{ctg}^2\alpha)(1 - \sin^2\alpha) = \frac{1}{\sin^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

По определению котангенса, $\text{ctg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $(1 + \text{tg}^2\beta)(1 - \cos^2\beta) = \text{tg}^2\beta$.

Преобразуем левую часть, используя тригонометрические тождества: $1 + \text{tg}^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$ и $1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$(1 + \text{tg}^2\beta)(1 - \cos^2\beta) = \frac{1}{\cos^2\beta} \cdot \sin^2\beta = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$.

По определению тангенса, $\text{tg}^2\beta = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$.

Следовательно, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{\sin x + \cos x \cdot \text{tg}x}{\cos x + \sin x \cdot \text{ctg}x} = 2\text{tg}x$.

Преобразуем левую часть тождества. Используем определения тангенса и котангенса: $\text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Преобразуем числитель дроби:

$\sin x + \cos x \cdot \text{tg}x = \sin x + \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$\cos x + \sin x \cdot \text{ctg}x = \cos x + \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2\sin x}{2\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \text{tg}x$.

В результате преобразования левой части мы получили $\text{tg}x$. Правая часть тождества равна $2\text{tg}x$. Равенство $\text{tg}x = 2\text{tg}x$ выполняется только в случае, когда $\text{tg}x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k$ — целое число. Для других значений $x$ тождество неверно. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: данное равенство не является тождеством. Оно верно только при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Докажем тождество $\frac{1}{\text{tg}^2 y + 1} - \frac{1}{\text{ctg}^2 y + 1} = \cos 2y$.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся основными тригонометрическими тождествами: $1 + \text{tg}^2y = \sec^2y = \frac{1}{\cos^2y}$ и $1 + \text{ctg}^2y = \csc^2y = \frac{1}{\sin^2y}$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$\frac{1}{\text{tg}^2 y + 1} - \frac{1}{\text{ctg}^2 y + 1} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2y}} - \frac{1}{\frac{1}{\sin^2y}}$.

Упростим полученное выражение:

$\cos^2y - \sin^2y$.

Это выражение является формулой косинуса двойного угла: $\cos^2y - \sin^2y = \cos(2y)$.

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.