Номер 6.67, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.67. Пусть $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ – геометрическая прогрессия со знаменателем $q$. Докажите формулы:

$b_n=b_1q^{n-1}$, $b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}$, $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$,

где $S_n$ – сумма первых $n$ членов прогрессии.

В задаче требуется доказать три основные формулы для геометрической прогрессии $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ со знаменателем $q$.

$b_n = b_1 q^{n-1}$

Доказательство этой формулы для n-го члена прогрессии удобно провести методом математической индукции.

1. База индукции. Проверим справедливость формулы для $n=1$.
Подставляя $n=1$ в формулу, получаем: $b_1 = b_1 q^{1-1} = b_1 q^0 = b_1 \cdot 1 = b_1$.
Равенство верно, база индукции выполняется.

2. Индукционное предположение. Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть справедливо равенство $b_k = b_1 q^{k-1}$.

3. Индукционный переход. Докажем, что из предположения о справедливости формулы для $n=k$ следует её справедливость для $n = k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $b_{k+1} = b_1 q^k$.
По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$: $b_{k+1} = b_k \cdot q$.
Используя индукционное предположение ($b_k = b_1 q^{k-1}$), подставим его в это равенство:
$b_{k+1} = (b_1 q^{k-1}) \cdot q = b_1 q^{k-1+1} = b_1 q^k$.
Мы получили в точности то равенство, которое требовалось доказать.

Таким образом, по принципу математической индукции, формула $b_n = b_1 q^{n-1}$ доказана для всех натуральных $n$.

Ответ: Формула доказана.

$b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}$

Это равенство выражает характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению его соседних членов. Для доказательства воспользуемся доказанной выше формулой n-го члена $b_k = b_1 q^{k-1}$. Свойство определено для членов, у которых есть соседи с обеих сторон, то есть для $n \ge 2$.

Выразим члены $b_{n-1}$, $b_n$ и $b_{n+1}$ через первый член $b_1$ и знаменатель $q$:
$b_n = b_1 q^{n-1}$
$b_{n-1} = b_1 q^{(n-1)-1} = b_1 q^{n-2}$
$b_{n+1} = b_1 q^{(n+1)-1} = b_1 q^{n}$

Теперь подставим эти выражения в левую и правую части доказываемого равенства.
Левая часть: $b_n^2 = (b_1 q^{n-1})^2 = b_1^2 \cdot (q^{n-1})^2 = b_1^2 q^{2(n-1)} = b_1^2 q^{2n-2}$.
Правая часть: $b_{n-1} \cdot b_{n+1} = (b_1 q^{n-2}) \cdot (b_1 q^{n}) = b_1^2 \cdot q^{(n-2)+n} = b_1^2 q^{2n-2}$.

Поскольку левая и правая части равны ($b_1^2 q^{2n-2} = b_1^2 q^{2n-2}$), равенство $b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}$ доказано.

Ответ: Формула доказана.

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

$S_n$ — это сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$.
Используя формулу n-го члена $b_k = b_1 q^{k-1}$, запишем сумму в развернутом виде:
$S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \dots + b_1 q^{n-1}$.

Доказательство требует рассмотрения двух случаев в зависимости от значения знаменателя $q$.

Случай 1: $q=1$.
В этом случае прогрессия представляет собой последовательность одинаковых чисел: $b_1, b_1, b_1, \dots$. Сумма первых $n$ членов равна:
$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot b_1$.
Данная в условии формула не применима при $q=1$, так как знаменатель дроби $1-q$ обращается в ноль. Формула доказывается для случая $q \ne 1$.

Случай 2: $q \ne 1$.
Запишем выражение для суммы $S_n$:
$S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \dots + b_1 q^{n-1}$ (1)

Умножим обе части этого равенства на $q$:
$S_n \cdot q = b_1 q + b_1 q^2 + b_1 q^3 + \dots + b_1 q^n$ (2)

Теперь вычтем равенство (2) из равенства (1):
$S_n - S_n \cdot q = (b_1 + b_1 q + \dots + b_1 q^{n-1}) - (b_1 q + b_1 q^2 + \dots + b_1 q^n)$.
После вычитания большинство членов в правой части взаимно уничтожаются, и остаются только первый член из первой скобки и последний член из второй:
$S_n(1-q) = b_1 - b_1 q^n$.

Вынесем $b_1$ за скобки в правой части:
$S_n(1-q) = b_1(1-q^n)$.

Так как мы рассматриваем случай $q \ne 1$, то $1-q \ne 0$, и мы можем разделить обе части равенства на $(1-q)$:
$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Ответ: Формула доказана (при условии $q \ne 1$).