Номер 6.66, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.66. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ – арифметическая прогрессия с разностью $d$. Докажите формулы

$a_n=a_1+(n-1)d$, $2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$, $S_n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n$,

где $S_n$ – сумма первых $n$ членов прогрессии.

$a_n = a_1 + (n-1)d$

По определению арифметической прогрессии, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом $d$ (разностью прогрессии). Распишем члены прогрессии последовательно, выражая их через первый член $a_1$ и разность $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$

$a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d$

Можно заметить закономерность: коэффициент при $d$ на единицу меньше номера члена прогрессии. Таким образом, для того, чтобы получить n-й член $a_n$ из первого члена $a_1$, необходимо прибавить разность $d$ ровно $(n-1)$ раз. Это можно записать в виде формулы:

$a_n = a_1 + (n-1)d$.

Ответ: Формула $a_n = a_1 + (n-1)d$ доказана.

$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Данное равенство является характеристическим свойством арифметической прогрессии и справедливо для любого члена прогрессии, начиная со второго ($n \ge 2$), для которого существуют предыдущий и последующий члены.

По определению арифметической прогрессии имеем:

$a_n = a_{n-1} + d$

$a_{n+1} = a_n + d$

Из первого равенства можно выразить $a_{n-1}$: $a_{n-1} = a_n - d$.

Второе равенство уже выражает $a_{n+1}$ через $a_n$ и $d$: $a_{n+1} = a_n + d$.

Сложим полученные выражения для $a_{n-1}$ и $a_{n+1}$:

$a_{n-1} + a_{n+1} = (a_n - d) + (a_n + d)$

$a_{n-1} + a_{n+1} = a_n + a_n - d + d$

$a_{n-1} + a_{n+1} = 2a_n$

Что и требовалось доказать. Это свойство означает, что каждый член арифметической прогрессии является средним арифметическим своих соседних членов.

Ответ: Формула $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$ доказана.

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

$S_n$ — это сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$.

Запишем эту сумму в прямом и обратном порядке:

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$

$S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1$

Теперь сложим эти два равенства почленно. Слева получится $2S_n$, а справа — сумма $n$ пар слагаемых:

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)$

Докажем, что сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, постоянна. Сумма $k$-го члена от начала ($a_k$) и $k$-го члена от конца (который имеет номер $n-k+1$) равна:

$a_k + a_{n-k+1} = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (n-k+1-1)d) = a_1 + (k-1)d + a_1 + (n-k)d = 2a_1 + (k-1+n-k)d = 2a_1 + (n-1)d$.

Эта сумма не зависит от $k$ и равна $a_1 + a_n$, поскольку $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Таким образом, в сумме для $2S_n$ все $n$ скобок равны одному и тому же значению $a_1 + a_n$:

$2S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$

Отсюда получаем формулу для суммы $n$ членов:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Чтобы получить требуемую в задаче формулу, подставим в это выражение формулу для $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + (n-1)d)}{2} \cdot n$

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$ доказана.