Номер 6.59, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.59. Найдите зависимость между x и y:

1) $x = t^{\frac{1}{2}}$, $y = t^{\frac{1}{2}};

2) $x = t^{\frac{1}{3}}$, $y = t^{\frac{1}{6}};

3) $x = 3t^{\frac{1}{2}}$, $y = 2t^{\frac{1}{3}};

4) $x = 0,5t^{-\frac{1}{2}}$, $y = 0,4t^2.

1) Даны параметрические уравнения: $x = t^{\frac{1}{2}}$ и $y = t^{-\frac{1}{2}}$.
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем уравнение для $y$: $y = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$.
Из первого уравнения известно, что $x = t^{\frac{1}{2}}$. Подставим это выражение в уравнение для $y$: $y = \frac{1}{x}$.
Определим область допустимых значений. Для существования $x = t^{\frac{1}{2}} = \sqrt{t}$ необходимо, чтобы $t \ge 0$. Для существования $y = t^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{t}}$ необходимо, чтобы $t > 0$. Следовательно, $t > 0$, что означает $x = \sqrt{t} > 0$.
Ответ: $y = \frac{1}{x}$ (при $x > 0$).

2) Даны параметрические уравнения: $x = t^{\frac{1}{3}}$ и $y = t^{\frac{1}{6}}$.
Выразим параметр $t$ из первого уравнения. Для этого возведем обе части в куб: $x^3 = (t^{\frac{1}{3}})^3$, что дает $t = x^3$.
Теперь подставим полученное выражение для $t$ во второе уравнение: $y = (x^3)^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}}$.
Таким образом, искомая зависимость: $y = \sqrt{x}$.
Определим область допустимых значений. Для существования $y = t^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{t}$ необходимо, чтобы $t \ge 0$. При этом $x = t^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{t} \ge 0$. Зависимость $y = \sqrt{x}$ определена для $x \ge 0$.
Ответ: $y = \sqrt{x}$.

3) Даны параметрические уравнения: $x = 3t^{\frac{1}{2}}$ и $y = 2t^{-\frac{1}{3}}$.
Для исключения параметра $t$ выразим его из обоих уравнений.
Из первого уравнения: $t^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3}$. Возведя в квадрат, получим $t = \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{x^2}{9}$.
Из второго уравнения: $y = \frac{2}{t^{\frac{1}{3}}}$, откуда $t^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{y}$. Возведя в куб, получим $t = \left(\frac{2}{y}\right)^3 = \frac{8}{y^3}$.
Приравняем два выражения для $t$: $\frac{x^2}{9} = \frac{8}{y^3}$.
Упростим полученное соотношение, умножив обе части на $9y^3$: $x^2 y^3 = 72$.
Определим область допустимых значений. Из $x = 3\sqrt{t}$ следует $t \ge 0$. Из $y = 2/\sqrt[3]{t}$ следует $t \ne 0$. Таким образом, $t > 0$. В этом случае $x > 0$ и $y > 0$.
Ответ: $x^2 y^3 = 72$ (при $x > 0, y > 0$).

4) Даны параметрические уравнения: $x = 0.5t^{-\frac{1}{2}}$ и $y = 0.4t^{-\frac{1}{2}}$.
Оба уравнения содержат одинаковую зависимость от $t$, а именно $t^{-\frac{1}{2}}$. Выразим этот член из каждого уравнения.
Из первого уравнения: $t^{-\frac{1}{2}} = \frac{x}{0.5} = 2x$.
Из второго уравнения: $t^{-\frac{1}{2}} = \frac{y}{0.4} = \frac{y}{2/5} = 2.5y$.
Приравняем полученные выражения: $2x = 2.5y$.
Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{2}{2.5}x = \frac{20}{25}x = \frac{4}{5}x = 0.8x$.
Определим область допустимых значений. Выражение $t^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{t}}$ определено при $t > 0$. Если $t > 0$, то $t^{-\frac{1}{2}} > 0$, а значит $x > 0$ и $y > 0$.
Ответ: $y = 0.8x$ (при $x > 0$).