Номер 6.65, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.65. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots;$

2) $3, 6, 12, 24, 48, \dots;$

3) $1, \frac{2}{101}, \frac{4}{201}, \frac{8}{301}, \dots;$

4) $\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \frac{16}{81}, \dots;$

1) Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Дана последовательность: $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots$.

Заметим, что знаменатели членов последовательности являются квадратами натуральных чисел: $1=1^2, 4=2^2, 9=3^2, 16=4^2$ и так далее. Числитель каждого члена равен 1. Первый член можно представить как $\frac{1}{1^2}$.

Таким образом, формула общего члена последовательности, где n-й член $a_n$ представляет собой дробь с числителем 1 и знаменателем $n^2$, имеет вид: $a_n = \frac{1}{n^2}$.

Ответ: $a_n = \frac{1}{n^2}$

2) Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Дана последовательность: $3, 6, 12, 24, 48, \dots$.

Найдем отношение каждого последующего члена к предыдущему: $\frac{6}{3}=2$, $\frac{12}{6}=2$, $\frac{24}{12}=2$. Поскольку отношение постоянно и равно 2, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $a_1=3$ и знаменателем $q=2$.

Формула общего члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив наши значения, получаем: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

Ответ: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

3) Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Дана последовательность: $1, \frac{2}{101}, \frac{4}{201}, \frac{8}{301}, \dots$.

Рассмотрим числители и знаменатели отдельно. Первый член $a_1$ можно представить в виде дроби $\frac{1}{1}$.

Последовательность числителей $1, 2, 4, 8, \dots$ представляет собой степени двойки: $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \dots$. Таким образом, числитель n-го члена равен $2^{n-1}$.

Последовательность знаменателей $1, 101, 201, 301, \dots$ является арифметической прогрессией, где первый член равен 1, а разность равна 100. Знаменатель n-го члена можно выразить формулой $1 + (n-1) \cdot 100$.

Объединяя формулы для числителя и знаменателя, получаем общую формулу: $a_n = \frac{2^{n-1}}{1 + 100(n-1)}$.

Ответ: $a_n = \frac{2^{n-1}}{1+100(n-1)}$

4) Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Дана последовательность: $\frac{2}{3}, -\frac{4}{9}, \frac{8}{27}, -\frac{16}{81}, \dots$.

Знаки членов последовательности чередуются, начиная с положительного. Это можно выразить множителем $(-1)^{n+1}$, который равен 1 для нечетных $n$ и -1 для четных $n$.

Рассмотрим абсолютные значения членов: $\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \frac{16}{81}, \dots$.

Числители $2, 4, 8, 16, \dots$ являются степенями двойки $2^n$. Знаменатели $3, 9, 27, 81, \dots$ являются степенями тройки $3^n$. Следовательно, абсолютное значение n-го члена равно $\frac{2^n}{3^n}$.

Объединяя знак и абсолютное значение, получаем формулу общего члена: $a_n = (-1)^{n+1} \frac{2^n}{3^n}$.

Ответ: $a_n = (-1)^{n+1} \frac{2^n}{3^n}$