Страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.60. Постройте графики функций:

1) $y=x^2$;

2) $y=\frac{1}{x}$;

3) $y=|x|$;

4) $y=x^3$;

5) $y=\sqrt{x}$;

6) $y=\sqrt[3]{x}$;

7) $y=\frac{1}{x^2}$;

8) $y=\sqrt{1-x^2}$.

1) $y=x^2$;

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Вершина параболы находится в начале координат (0,0). Функция является чётной, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$, поэтому её график симметричен относительно оси OY.

Ответ: График функции $y=x^2$ — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

2) $y = \frac{1}{x}$;

Это обратная пропорциональность, график которой — гипербола. График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных квадрантах. Оси координат служат асимптотами. Функция нечётная, так как $y(-x) = \frac{1}{-x} = -y(x)$, поэтому график симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x}$ — гипербола, состоящая из двух ветвей в I и III координатных четвертях.

3) $y=|x|$;

Это функция "модуль x". График состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. При $x \ge 0$, имеем $y=x$ (биссектриса первого координатного угла). При $x < 0$, имеем $y=-x$ (биссектриса второго координатного угла). Функция чётная, график симметричен относительно оси OY.

Ответ: График функции $y=|x|$ состоит из двух лучей, являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

4) $y=x^3$;

Это кубическая функция, график которой называется кубической параболой. График проходит через начало координат и возрастает на всей области определения. Функция нечётная, так как $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$, поэтому её график симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции $y=x^3$ — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат.

5) $y=\sqrt{x}$;

Это функция "квадратный корень". Область определения: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$. График является ветвью параболы, лежащей на боку. Он начинается в точке (0,0) и плавно возрастает. График является зеркальным отражением графика $y=x^2$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ — верхняя ветвь параболы $x=y^2$, выходящая из начала координат.

6) $y=\sqrt[3]{x}$;

Это функция "кубический корень". Область определения и область значений — все действительные числа. График симметричен относительно начала координат, так как функция нечётная: $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. График похож на кубическую параболу, но "повёрнут" и расположен вдоль оси OX.

Ответ: График функции $y=\sqrt[3]{x}$ — кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

7) $y = \frac{1}{x^2}$;

График этой функции похож на гиперболу. Функция чётная, $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$, поэтому её график симметричен относительно оси OY. В отличие от $y=1/x$, обе ветви расположены выше оси OX (в I и II квадрантах), так как $y > 0$ для всех $x \neq 0$. Оси координат являются асимптотами.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x^2}$ состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях и симметричных относительно оси OY.

8) $y = \sqrt{1 - x^2}$.

Чтобы определить вид графика, возведём обе части уравнения в квадрат: $y^2 = 1 - x^2$, при условии $y \ge 0$. Перенеся $x^2$ влево, получаем $x^2 + y^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в (0,0) и радиусом 1. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только верхнюю половину этой окружности. Область определения: $-1 \le x \le 1$. Область значений: $0 \le y \le 1$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{1 - x^2}$ — верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом 1.

6.61. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{2x-5}$;

2) $y = \frac{x}{x^2-5x+6}$;

3) $y = \sqrt{3x-9}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{-4x+2}}$;

5) $y = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$;

6) $y = \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$;

7) $y = \frac{3}{x-2\sqrt{x}}$;

8) $y = \frac{2}{\sqrt{x^2-6x+8}-2}$.

1) Область определения функции $y = \frac{1}{2x-5}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен обращаться в нуль. Таким образом, мы должны решить неравенство $2x - 5 \neq 0$.
$2x \neq 5$
$x \neq \frac{5}{2}$
$x \neq 2.5$
Областью определения являются все действительные числа, кроме $2.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2.5) \cup (2.5; +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{x}{x^2 - 5x + 6}$ знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в нуль, решив квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме $x=2$ и $x=3$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

3) Для функции $y = \sqrt{3x - 9}$ выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.
$3x - 9 \ge 0$
$3x \ge 9$
$x \ge 3$
Область определения — все числа, большие или равные 3.
Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

4) В функции $y = \frac{1}{\sqrt{-4x + 2}}$ выражение под знаком квадратного корня находится в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным.
$-4x + 2 > 0$
$-4x > -2$
При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-2}{-4}$
$x < \frac{1}{2}$
Область определения — все числа, меньшие $0.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0.5)$.

5) Для функции $y = \frac{2}{\sqrt{x} - 3}$ необходимо выполнение двух условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x} - 3 \neq 0$.
Из второго условия получаем $\sqrt{x} \neq 3$, что после возведения в квадрат дает $x \neq 9$.
Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 9$), получаем область определения.
Ответ: $x \in [0; 9) \cup (9; +\infty)$.

6) Для функции $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$ должны выполняться два условия:
1. Выражение под корнем неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{x} - 1 \neq 0$.
Из второго условия имеем $\sqrt{x} \neq 1$, то есть $x \neq 1$.
Совмещая условия $x \ge 0$ и $x \neq 1$, находим область определения.
Ответ: $x \in [0; 1) \cup (1; +\infty)$.

7) Для функции $y = \frac{3}{x - 2\sqrt{x}}$ должны выполняться два условия:
1. По определению квадратного корня: $x \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 2\sqrt{x} \neq 0$.
Решим уравнение $x - 2\sqrt{x} = 0$. Вынесем $\sqrt{x}$ за скобку: $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) = 0$.
Это уравнение имеет два решения: $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$ и $\sqrt{x} - 2 = 0 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$.
Значит, $x$ не может быть равен 0 и 4. С учетом условия $x \ge 0$, получаем $x>0$ и $x \neq 4$.
Ответ: $x \in (0; 4) \cup (4; +\infty)$.

8) Для функции $y = \frac{2}{\sqrt{x^2 - 6x + 8} - 2}$ должны выполняться два условия:
1. Выражение под корнем неотрицательно: $x^2 - 6x + 8 \ge 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{x^2 - 6x + 8} - 2 \neq 0$.
Сначала решим неравенство $x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ это $x_1=2$ и $x_2=4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется для $x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$.
Теперь решим условие для знаменателя: $\sqrt{x^2 - 6x + 8} \neq 2$. Возведем обе части в квадрат: $x^2 - 6x + 8 \neq 4$, что эквивалентно $x^2 - 6x + 4 \neq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 4 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.
Корни: $x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.
Таким образом, $x \neq 3 - \sqrt{5}$ и $x \neq 3 + \sqrt{5}$.
Теперь нужно исключить эти значения из найденного ранее множества $(-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$.
Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.236$.
$3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.236 = 0.764$. Это значение попадает в интервал $(-\infty; 2]$.
$3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.236 = 5.236$. Это значение попадает в интервал $[4; +\infty)$.
Следовательно, обе точки должны быть исключены.
Ответ: $x \in (-\infty; 3-\sqrt{5}) \cup (3-\sqrt{5}; 2] \cup [4; 3+\sqrt{5}) \cup (3+\sqrt{5}; +\infty)$.

6.62. Исследуйте функции и постройте их графики:

1) $y=|x-1|+|x|;$

2) $y=\frac{x^2-3x+2}{x-1};$

3) $y=x^2-6x+3;$

4) $y=|x^2-6x+3|;$

5) $y=x^2-6|x|+3;$

6) $y=|x^2-6|x|+3|.$

1) $y=|x-1|+|x|$

Для того, чтобы раскрыть модули, рассмотрим три случая, в зависимости от знака выражений под модулем. Точки, в которых выражения меняют знак: $x=0$ и $x-1=0 \implies x=1$.

1. При $x < 0$: Оба выражения под модулем отрицательны.
$y = -(x-1) + (-x) = -x+1-x = -2x+1$.

2. При $0 \le x < 1$: Выражение $x$ неотрицательно, а $x-1$ отрицательно.
$y = -(x-1) + x = -x+1+x = 1$.

3. При $x \ge 1$: Оба выражения под модулем неотрицательны.
$y = (x-1) + x = 2x-1$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной:$y = \begin{cases} -2x+1, & \text{если } x < 0 \\ 1, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2x-1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

График состоит из двух лучей и отрезка между ними.
- На интервале $(-\infty, 0)$ это убывающая прямая. В точке $x=0$ значение $y=1$.
- На отрезке $[0, 1)$ это горизонтальная прямая $y=1$.
- На интервале $[1, \infty)$ это возрастающая прямая. В точке $x=1$ значение $y=2(1)-1=1$.

Ответ:

2) $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=2$.
Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Упростим выражение для функции при $x \neq 1$:
$y = \frac{(x-1)(x-2)}{x-1} = x-2$.

Графиком функции является прямая $y=x-2$ с "выколотой" точкой, соответствующей $x=1$.
Найдем координаты этой точки: $y = 1-2 = -1$.
Таким образом, график — это прямая $y=x-2$ с выколотой точкой $(1, -1)$.

Ответ:

3) $y = x^2 - 6x + 3$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3$.
$y_v = (3)^2 - 6(3) + 3 = 9 - 18 + 3 = -6$.
Вершина находится в точке $(3, -6)$.

Найдем точку пересечения с осью OY (при $x=0$):
$y(0) = 0^2 - 6(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.

Найдем точки пересечения с осью OX (при $y=0$):
$x^2 - 6x + 3 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4(1)(3) = 36 - 12 = 24$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$.
$x_1 = 3 - \sqrt{6} \approx 0.55$, $x_2 = 3 + \sqrt{6} \approx 5.45$.

Ось симметрии параболы — прямая $x=3$.

Ответ:

4) $y = |x^2 - 6x + 3|$

График функции $y=|f(x)|$ строится на основе графика $y=f(x)$. Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше или на оси OX, остается без изменений. Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно оси OX.

Используем график функции $y = x^2 - 6x + 3$ из предыдущего пункта.
- Части параболы, где $y \ge 0$ (при $x \in (-\infty, 3-\sqrt{6}] \cup [3+\sqrt{6}, \infty)$), остаются на месте.
- Часть параболы, где $y < 0$ (при $x \in (3-\sqrt{6}, 3+\sqrt{6})$), отражается вверх.
- Вершина $(3, -6)$ переходит в точку $(3, 6)$.
- Точки пересечения с осью OX $(3 \pm \sqrt{6}, 0)$ остаются на месте и становятся точками минимума.

Ответ:

5) $y = x^2 - 6|x| + 3$

Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 6|-x| + 3 = x^2 - 6|x| + 3 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

Построим график для $x \ge 0$. При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 6x + 3$. Это та же парабола, что и в пункте 3.

Берем часть графика параболы $y = x^2 - 6x + 3$ при $x \ge 0$. Эта часть начинается в точке $(0, 3)$, спускается до вершины $(3, -6)$ и затем поднимается вверх.

Затем отражаем эту часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить график для $x < 0$. Вершина $(3, -6)$ отразится в точку $(-3, -6)$. Точка $(0,3)$ является точкой "излома".

Ответ:

6) $y = |x^2 - 6|x| + 3|$

Этот график можно получить из графика предыдущей функции $g(x) = x^2 - 6|x| + 3$ по правилу $y=|g(x)|$. Части графика, лежащие ниже оси OX, отражаются симметрично относительно этой оси.

Используем график функции $y = x^2 - 6|x| + 3$ из пункта 5.
- Части графика, где $y < 0$, отражаются вверх. Это происходит на двух интервалах.
- Вершины $(3, -6)$ и $(-3, -6)$ переходят в точки $(3, 6)$ и $(-3, 6)$ соответственно.
- Точки пересечения с осью OX $x = \pm(3 - \sqrt{6})$ и $x = \pm(3 + \sqrt{6})$ становятся точками минимума.
- Часть графика около оси OY, которая была выше оси OX (между $x=-(3-\sqrt{6})$ и $x=3-\sqrt{6}$), остается без изменений. Точка $(0, 3)$ является локальным максимумом.

Ответ:

6.63. Постройте графики функций:

1) $y = \frac{1}{x+2}$;

2) $y = \frac{1}{x}-3$;

3) $y = \frac{1}{x-3}+1$;

4) $y = \frac{x-2}{x-3}$;

5) $y = \left|\frac{x-2}{x-3}\right|$;

6) $y = \frac{|x|-2}{|x|-3}$;

7) $y = \left|\frac{|x|-2}{|x|-3}\right|$;

8) $y = \frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}$.

1) Функция $y = \frac{1}{x+2}$.

Это гипербола, полученная из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига влево на 2 единицы вдоль оси Ox.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, что означает $x \neq -2$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = -2$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

3. Пересечения с осями:
- С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{1}{0+2} = \frac{1}{2}$. Точка пересечения: $(0, 0.5)$.
- С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{x+2} = 0$. Это уравнение не имеет решений, поэтому пересечений с осью Ox нет.

4. Построение графика: Строим график функции $y = \frac{1}{x}$ и сдвигаем его на 2 единицы влево.

Ответ:
График функции $y = \frac{1}{x+2}$ — это гипербола с асимптотами $x=-2$ и $y=0$.

2) Функция $y = \frac{1}{x} - 3$.

Это гипербола, полученная из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига вниз на 3 единицы вдоль оси Oy.

1. Область определения: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.

3. Пересечения с осями:
- С осью Oy (при $x=0$): не пересекает, так как $x=0$ - асимптота.
- С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{x} - 3 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$. Точка пересечения: $(\frac{1}{3}, 0)$.

4. Построение графика: Строим график функции $y = \frac{1}{x}$ и сдвигаем его на 3 единицы вниз.

Ответ:
График функции $y = \frac{1}{x} - 3$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-3$.

3) Функция $y = \frac{1}{x-3} + 1$.

Это гипербола, полученная из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига вправо на 3 единицы вдоль оси Ox и вверх на 1 единицу вдоль оси Oy.

1. Область определения: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 3$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

3. Пересечения с осями:
- С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{1}{0-3} + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$. Точка: $(0, \frac{2}{3})$.
- С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{x-3} + 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x-3} = -1 \Rightarrow x-3 = -1 \Rightarrow x = 2$. Точка: $(2, 0)$.

4. Построение графика: Строим $y = \frac{1}{x}$, сдвигаем на 3 вправо и на 1 вверх.

Ответ:
График функции $y = \frac{1}{x-3} + 1$ — это гипербола с асимптотами $x=3$ и $y=1$.

4) Функция $y = \frac{x-2}{x-3}$.

Преобразуем выражение, выделив целую часть: $y = \frac{x-3+1}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{1}{x-3} = 1 + \frac{1}{x-3}$. Это та же функция, что и в пункте 3.

Ответ:
График функции $y = \frac{x-2}{x-3}$ идентичен графику из пункта 3. Это гипербола с асимптотами $x=3$ и $y=1$.

5) Функция $y = \left|\frac{x-2}{x-3}\right|$.

График этой функции получается из графика функции $g(x) = \frac{x-2}{x-3}$ (рассмотренного в пунктах 3 и 4) с помощью преобразования $y = |g(x)|$.

1. Построение:
- Сначала строим график $g(x) = \frac{x-2}{x-3}$.
- Часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $g(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.
- Часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $g(x) \geq 0$), остается без изменений.

2. Анализ знака $g(x)$:
- $g(x) \geq 0$ при $x \in (-\infty, 2] \cup (3, +\infty)$. На этих интервалах график $y$ совпадает с графиком $g(x)$.
- $g(x) < 0$ при $x \in (2, 3)$. На этом интервале график $g(x)$ отражается вверх.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=3$.
- Горизонтальная асимптота: $y=1$.

Ответ:
График функции получается из гиперболы $y=\frac{x-2}{x-3}$ отражением ее отрицательной части ($x \in (2,3)$) относительно оси Ox.

6) Функция $y = \frac{|x|-2}{|x|-3}$.

График этой функции получается из графика функции $g(x) = \frac{x-2}{x-3}$ с помощью преобразования $y = g(|x|)$. Это означает, что функция является четной, и ее график симметричен относительно оси Oy.

1. Построение:
- Строим график функции $g(x) = \frac{x-2}{x-3}$ для $x \ge 0$. Эта часть графика совпадает с соответствующей частью графика из пункта 4.
- Отражаем построенную часть симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

2. Асимптоты:
- Вертикальные асимптоты: $|x|-3=0 \Rightarrow |x|=3 \Rightarrow x=3$ и $x=-3$.
- Горизонтальная асимптота: $y=1$.

3. Пересечения с осями:
- С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{0-2}{0-3} = \frac{2}{3}$. Точка: $(0, \frac{2}{3})$.
- С осью Ox (при $y=0$): $|x|-2=0 \Rightarrow |x|=2 \Rightarrow x=2$ и $x=-2$. Точки: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ:
График симметричен относительно оси Oy, имеет вертикальные асимптоты $x=3, x=-3$ и горизонтальную асимптоту $y=1$.

7) Функция $y = \left|\frac{|x|-2}{|x|-3}\right|$.

График этой функции можно получить двумя способами:
1. Применить преобразование $y=|f(x)|$ к графику из пункта 6. То есть, отразить все отрицательные части графика функции $h(x) = \frac{|x|-2}{|x|-3}$ относительно оси Ox.
2. Применить преобразование $y=f(|x|)$ к графику из пункта 5. То есть, взять правую половину ($x \ge 0$) графика $y = \left|\frac{x-2}{x-3}\right|$ и симметрично отразить ее относительно оси Oy.
Оба способа дадут одинаковый результат.

1. Построение (метод 1):
- Берём график из пункта 6. - Отрицательные значения функция принимает при $2 < |x| < 3$, т.е. на интервалах $(-3, -2)$ и $(2, 3)$. - Отражаем части графика на этих интервалах симметрично относительно оси Ox.

2. Свойства:
- Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.
- Функция всегда неотрицательна: $y \ge 0$.
- Асимптоты: $x=3, x=-3, y=1$.

Ответ:
График симметричен относительно оси Oy и лежит полностью в верхней полуплоскости. Асимптоты $x=\pm 3, y=1$.

8) Функция $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.
- Числитель: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
- Знаменатель: $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Функция принимает вид: $y = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-3)}$.

1. Область определения: Знаменатель не равен нулю, $x^2 - 4x + 3 \neq 0$, следовательно $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

2. Упрощение: При $x \neq 1$ можно сократить дробь на $(x-1)$: $y = \frac{x-2}{x-3}$.

3. Анализ: График данной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{x-2}{x-3}$ (рассмотренной в пунктах 3 и 4) за исключением точки $x=1$. В этой точке исходная функция не определена, поэтому на графике будет "выколотая" точка (разрыв).

4. Координаты выколотой точки: Найдем значение, к которому стремится функция при $x \to 1$, используя упрощенное выражение: $y(1) = \frac{1-2}{1-3} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$. Координаты выколотой точки: $(1, 0.5)$.

Ответ:
График функции — это гипербола $y=\frac{x-2}{x-3}$ с асимптотами $x=3, y=1$ и выколотой точкой в $(1, 0.5)$.

6.64. Выпишите первые 5 членов последовательности:

1) $x_n=2n+3$;

2) $x_n=(-1)^n \cdot 2$;

3) $x_n=\frac{3n-1}{2n+3}$;

4) $x_n=\frac{n+(-1)^n}{n-(-1)^n}$.

1) Для последовательности, заданной формулой $x_n=2n+3$, найдем первые пять членов, подставляя последовательно $n=1, 2, 3, 4, 5$:
При $n=1: x_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$
При $n=2: x_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$
При $n=3: x_3 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$
При $n=4: x_4 = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$
При $n=5: x_5 = 2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$
Ответ: 5, 7, 9, 11, 13.

2) Для последовательности, заданной формулой $x_n=(-1)^n \cdot 2$, найдем первые пять членов:
При $n=1: x_1 = (-1)^1 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$
При $n=2: x_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$
При $n=3: x_3 = (-1)^3 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$
При $n=4: x_4 = (-1)^4 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$
При $n=5: x_5 = (-1)^5 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$
Ответ: -2, 2, -2, 2, -2.

3) Для последовательности, заданной формулой $x_n = \frac{3n-1}{2n+3}$, найдем первые пять членов:
При $n=1: x_1 = \frac{3 \cdot 1 - 1}{2 \cdot 1 + 3} = \frac{3-1}{2+3} = \frac{2}{5}$
При $n=2: x_2 = \frac{3 \cdot 2 - 1}{2 \cdot 2 + 3} = \frac{6-1}{4+3} = \frac{5}{7}$
При $n=3: x_3 = \frac{3 \cdot 3 - 1}{2 \cdot 3 + 3} = \frac{9-1}{6+3} = \frac{8}{9}$
При $n=4: x_4 = \frac{3 \cdot 4 - 1}{2 \cdot 4 + 3} = \frac{12-1}{8+3} = \frac{11}{11} = 1$
При $n=5: x_5 = \frac{3 \cdot 5 - 1}{2 \cdot 5 + 3} = \frac{15-1}{10+3} = \frac{14}{13}$
Ответ: $\frac{2}{5}, \frac{5}{7}, \frac{8}{9}, 1, \frac{14}{13}$.

4) Для последовательности, заданной формулой $x_n = \frac{n+(-1)^n}{n-(-1)^n}$, найдем первые пять членов:
При $n=1: x_1 = \frac{1+(-1)^1}{1-(-1)^1} = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$
При $n=2: x_2 = \frac{2+(-1)^2}{2-(-1)^2} = \frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{1} = 3$
При $n=3: x_3 = \frac{3+(-1)^3}{3-(-1)^3} = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
При $n=4: x_4 = \frac{4+(-1)^4}{4-(-1)^4} = \frac{4+1}{4-1} = \frac{5}{3}$
При $n=5: x_5 = \frac{5+(-1)^5}{5-(-1)^5} = \frac{5-1}{5+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Ответ: $0, 3, \frac{1}{2}, \frac{5}{3}, \frac{2}{3}$.

6.65. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots;$

2) $3, 6, 12, 24, 48, \dots;$

3) $1, \frac{2}{101}, \frac{4}{201}, \frac{8}{301}, \dots;$

4) $\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \frac{16}{81}, \dots;$

1) Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Дана последовательность: $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots$.

Заметим, что знаменатели членов последовательности являются квадратами натуральных чисел: $1=1^2, 4=2^2, 9=3^2, 16=4^2$ и так далее. Числитель каждого члена равен 1. Первый член можно представить как $\frac{1}{1^2}$.

Таким образом, формула общего члена последовательности, где n-й член $a_n$ представляет собой дробь с числителем 1 и знаменателем $n^2$, имеет вид: $a_n = \frac{1}{n^2}$.

Ответ: $a_n = \frac{1}{n^2}$

2) Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Дана последовательность: $3, 6, 12, 24, 48, \dots$.

Найдем отношение каждого последующего члена к предыдущему: $\frac{6}{3}=2$, $\frac{12}{6}=2$, $\frac{24}{12}=2$. Поскольку отношение постоянно и равно 2, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $a_1=3$ и знаменателем $q=2$.

Формула общего члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив наши значения, получаем: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

Ответ: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

3) Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Дана последовательность: $1, \frac{2}{101}, \frac{4}{201}, \frac{8}{301}, \dots$.

Рассмотрим числители и знаменатели отдельно. Первый член $a_1$ можно представить в виде дроби $\frac{1}{1}$.

Последовательность числителей $1, 2, 4, 8, \dots$ представляет собой степени двойки: $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \dots$. Таким образом, числитель n-го члена равен $2^{n-1}$.

Последовательность знаменателей $1, 101, 201, 301, \dots$ является арифметической прогрессией, где первый член равен 1, а разность равна 100. Знаменатель n-го члена можно выразить формулой $1 + (n-1) \cdot 100$.

Объединяя формулы для числителя и знаменателя, получаем общую формулу: $a_n = \frac{2^{n-1}}{1 + 100(n-1)}$.

Ответ: $a_n = \frac{2^{n-1}}{1+100(n-1)}$

4) Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Дана последовательность: $\frac{2}{3}, -\frac{4}{9}, \frac{8}{27}, -\frac{16}{81}, \dots$.

Знаки членов последовательности чередуются, начиная с положительного. Это можно выразить множителем $(-1)^{n+1}$, который равен 1 для нечетных $n$ и -1 для четных $n$.

Рассмотрим абсолютные значения членов: $\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \frac{16}{81}, \dots$.

Числители $2, 4, 8, 16, \dots$ являются степенями двойки $2^n$. Знаменатели $3, 9, 27, 81, \dots$ являются степенями тройки $3^n$. Следовательно, абсолютное значение n-го члена равно $\frac{2^n}{3^n}$.

Объединяя знак и абсолютное значение, получаем формулу общего члена: $a_n = (-1)^{n+1} \frac{2^n}{3^n}$.

Ответ: $a_n = (-1)^{n+1} \frac{2^n}{3^n}$

6.66. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ – арифметическая прогрессия с разностью $d$. Докажите формулы

$a_n=a_1+(n-1)d$, $2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$, $S_n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n$,

где $S_n$ – сумма первых $n$ членов прогрессии.

$a_n = a_1 + (n-1)d$

По определению арифметической прогрессии, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом $d$ (разностью прогрессии). Распишем члены прогрессии последовательно, выражая их через первый член $a_1$ и разность $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$

$a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d$

Можно заметить закономерность: коэффициент при $d$ на единицу меньше номера члена прогрессии. Таким образом, для того, чтобы получить n-й член $a_n$ из первого члена $a_1$, необходимо прибавить разность $d$ ровно $(n-1)$ раз. Это можно записать в виде формулы:

$a_n = a_1 + (n-1)d$.

Ответ: Формула $a_n = a_1 + (n-1)d$ доказана.

$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Данное равенство является характеристическим свойством арифметической прогрессии и справедливо для любого члена прогрессии, начиная со второго ($n \ge 2$), для которого существуют предыдущий и последующий члены.

По определению арифметической прогрессии имеем:

$a_n = a_{n-1} + d$

$a_{n+1} = a_n + d$

Из первого равенства можно выразить $a_{n-1}$: $a_{n-1} = a_n - d$.

Второе равенство уже выражает $a_{n+1}$ через $a_n$ и $d$: $a_{n+1} = a_n + d$.

Сложим полученные выражения для $a_{n-1}$ и $a_{n+1}$:

$a_{n-1} + a_{n+1} = (a_n - d) + (a_n + d)$

$a_{n-1} + a_{n+1} = a_n + a_n - d + d$

$a_{n-1} + a_{n+1} = 2a_n$

Что и требовалось доказать. Это свойство означает, что каждый член арифметической прогрессии является средним арифметическим своих соседних членов.

Ответ: Формула $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$ доказана.

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

$S_n$ — это сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$.

Запишем эту сумму в прямом и обратном порядке:

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$

$S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1$

Теперь сложим эти два равенства почленно. Слева получится $2S_n$, а справа — сумма $n$ пар слагаемых:

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)$

Докажем, что сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, постоянна. Сумма $k$-го члена от начала ($a_k$) и $k$-го члена от конца (который имеет номер $n-k+1$) равна:

$a_k + a_{n-k+1} = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (n-k+1-1)d) = a_1 + (k-1)d + a_1 + (n-k)d = 2a_1 + (k-1+n-k)d = 2a_1 + (n-1)d$.

Эта сумма не зависит от $k$ и равна $a_1 + a_n$, поскольку $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Таким образом, в сумме для $2S_n$ все $n$ скобок равны одному и тому же значению $a_1 + a_n$:

$2S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$

Отсюда получаем формулу для суммы $n$ членов:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Чтобы получить требуемую в задаче формулу, подставим в это выражение формулу для $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + (n-1)d)}{2} \cdot n$

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$ доказана.