Страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.36. Найдите целые корни многочлена и разложите его на множители:

1) $x^3-7x-6$;

2) $x^3+9x^2+11x-21$;

3) $x^3-5x^2+3x+1$;

4) $x^3+9x^2+23x+15$;

5) $x^4+3x^3-12x^2-38x-24$;

6) $x^4-6x^3-14x^2-11x-4.

1) $x^3-7x-6$
Для нахождения целых корней многочлена воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями его свободного члена.Свободный член равен -6. Его делители: $±1, ±2, ±3, ±6$.
Проверим эти значения, подставляя их в многочлен $P(x) = x^3-7x-6$:
$P(1) = 1^3 - 7(1) - 6 = 1 - 7 - 6 = -12 \ne 0$
$P(-1) = (-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.
Мы нашли первый корень $x_1 = -1$. Это значит, что многочлен делится на $(x - (-1)) = (x+1)$ без остатка.
Выполним деление многочлена $x^3-7x-6$ на $(x+1)$ столбиком:
$ (x^3 - 7x - 6) : (x+1) = x^2 - x - 6 $
Теперь у нас есть разложение: $(x+1)(x^2 - x - 6)$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: $x_2 = 3$ и $x_3 = -2$.
Таким образом, все целые корни многочлена: -1, -2, 3.
Разложение на множители: $x^3-7x-6 = (x+1)(x-3)(x+2)$.
Ответ: целые корни: -2, -1, 3; разложение: $(x+1)(x+2)(x-3)$.

2) $x^3+9x^2+11x-21$
Свободный член равен -21. Его делители: $±1, ±3, ±7, ±21$.
Проверим эти значения для $P(x) = x^3+9x^2+11x-21$:
$P(1) = 1^3 + 9(1)^2 + 11(1) - 21 = 1 + 9 + 11 - 21 = 0$.
Найден корень $x_1 = 1$. Разделим многочлен на $(x-1)$:
$ (x^3+9x^2+11x-21) : (x-1) = x^2 + 10x + 21 $.
Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 10x + 21 = 0$. По теореме Виета, сумма корней -10, произведение 21. Корни: $x_2 = -3$ и $x_3 = -7$.
Целые корни многочлена: 1, -3, -7.
Разложение на множители: $x^3+9x^2+11x-21 = (x-1)(x+3)(x+7)$.
Ответ: целые корни: -7, -3, 1; разложение: $(x-1)(x+3)(x+7)$.

3) $x^3-5x^2+3x+1$
Свободный член равен 1. Его делители: $±1$.
Проверим эти значения для $P(x) = x^3-5x^2+3x+1$:
$P(1) = 1^3 - 5(1)^2 + 3(1) + 1 = 1 - 5 + 3 + 1 = 0$.
Найден корень $x_1 = 1$. Разделим многочлен на $(x-1)$:
$ (x^3-5x^2+3x+1) : (x-1) = x^2 - 4x - 1 $.
Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 4x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$.
Корни $x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$. Эти корни не являются целыми.
Следовательно, у исходного многочлена только один целый корень.
Разложение на множители: $x^3-5x^2+3x+1 = (x-1)(x^2-4x-1)$.
Ответ: целый корень: 1; разложение: $(x-1)(x^2-4x-1)$.

4) $x^3+9x^2+23x+15$
Свободный член равен 15. Делители: $±1, ±3, ±5, ±15$. Так как все коэффициенты многочлена положительны, его корни могут быть только отрицательными.
Проверим отрицательные делители для $P(x) = x^3+9x^2+23x+15$:
$P(-1) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$.
Найден корень $x_1 = -1$. Разделим многочлен на $(x+1)$:
$ (x^3+9x^2+23x+15) : (x+1) = x^2 + 8x + 15 $.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней -8, произведение 15. Корни: $x_2 = -3$ и $x_3 = -5$.
Целые корни многочлена: -1, -3, -5.
Разложение на множители: $x^3+9x^2+23x+15 = (x+1)(x+3)(x+5)$.
Ответ: целые корни: -5, -3, -1; разложение: $(x+1)(x+3)(x+5)$.

5) $x^4+3x^3-12x^2-38x-24$
Свободный член равен -24. Его делители: $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24$.
Проверим значения для $P(x) = x^4+3x^3-12x^2-38x-24$:
$P(-1) = (-1)^4 + 3(-1)^3 - 12(-1)^2 - 38(-1) - 24 = 1 - 3 - 12 + 38 - 24 = 0$.
Найден корень $x_1 = -1$. Разделим многочлен на $(x+1)$:
$ (x^4+3x^3-12x^2-38x-24) : (x+1) = x^3+2x^2-14x-24 $.
Теперь ищем целые корни для нового многочлена $Q(x) = x^3+2x^2-14x-24$. Его свободный член -24, так что возможные корни те же.
$Q(-4) = (-4)^3 + 2(-4)^2 - 14(-4) - 24 = -64 + 32 + 56 - 24 = 0$.
Найден корень $x_2 = -4$. Разделим $Q(x)$ на $(x+4)$:
$ (x^3+2x^2-14x-24) : (x+4) = x^2 - 2x - 6 $.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-6) = 4 + 24 = 28$.
Корни $x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$. Эти корни не являются целыми.
Таким образом, целые корни исходного многочлена: -1, -4.
Разложение на множители: $x^4+3x^3-12x^2-38x-24 = (x+1)(x+4)(x^2-2x-6)$.
Ответ: целые корни: -4, -1; разложение: $(x+1)(x+4)(x^2-2x-6)$.

6) $x^4-6x^3-14x^2-11x-4$
Свободный член равен -4. Его делители: $±1, ±2, ±4$.
Проверим эти значения для $P(x) = x^4-6x^3-14x^2-11x-4$:
$P(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^3 - 14(-1)^2 - 11(-1) - 4 = 1 + 6 - 14 + 11 - 4 = 0$.
Найден корень $x_1 = -1$. Разделим многочлен на $(x+1)$:
$ (x^4-6x^3-14x^2-11x-4) : (x+1) = x^3-7x^2-7x-4 $.
Теперь ищем целые корни для многочлена $Q(x) = x^3-7x^2-7x-4$. Его свободный член -4, делители $±1, ±2, ±4$.
$Q(1) = 1-7-7-4 = -17 \ne 0$
$Q(-1) = -1-7+7-4 = -5 \ne 0$
$Q(2) = 8-28-14-4 = -38 \ne 0$
$Q(-2) = -8-28+14-4 = -26 \ne 0$
$Q(4) = 64-112-28-4 = -80 \ne 0$
$Q(-4) = -64-112+28-4 = -152 \ne 0$
Других целых корней нет. Единственный целый корень исходного многочлена - это -1.
Разложение на множители: $x^4-6x^3-14x^2-11x-4 = (x+1)(x^3-7x^2-7x-4)$.
Ответ: целый корень: -1; разложение: $(x+1)(x^3-7x^2-7x-4)$.

6.37. Докажите, что при каждом натуральном $n$ значение выражения $n^5-5n^3+4n$ делится на 120.

Для доказательства того, что значение выражения $n^5-5n^3+4n$ делится на 120 при каждом натуральном $n$, преобразуем данное выражение, разложив его на множители.

Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:$n^5-5n^3+4n = n(n^4-5n^2+4)$.

Выражение в скобках, $n^4-5n^2+4$, является биквадратным трехчленом. Его можно разложить на множители как квадратный трехчлен относительно $n^2$. Для этого решим уравнение $x^2-5x+4=0$, где $x=n^2$. Корнями этого уравнения являются $x_1=1$ и $x_2=4$. Следовательно, $n^4-5n^2+4 = (n^2-1)(n^2-4)$.

Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получаем:$n^2-1 = (n-1)(n+1)$$n^2-4 = (n-2)(n+2)$

Таким образом, исходное выражение полностью раскладывается на множители:$n^5-5n^3+4n = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.

Переупорядочив множители в порядке возрастания, получим произведение пяти последовательных целых чисел:$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.

Теперь докажем, что это произведение делится на 120. Для этого достаточно показать, что оно делится на 3, 5 и 8, так как $120 = 3 \times 5 \times 8$, а числа 3, 5 и 8 являются попарно взаимно простыми.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел одно число обязательно кратно 3. Поскольку у нас произведение пяти последовательных чисел, оно гарантированно содержит множитель, кратный 3, и, следовательно, все произведение делится на 3.

Делимость на 5: Среди любых пяти последовательных целых чисел одно число обязательно кратно 5. Следовательно, их произведение делится на 5.

Делимость на 8: В последовательности из пяти последовательных целых чисел есть как минимум два четных числа. Более того, в любой последовательности из четырех последовательных целых чисел (которая является частью нашей последовательности из пяти) есть ровно два четных числа. Эти два числа можно представить как $2k$ и $2k+2$ для некоторого целого $k$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Произведение двух последовательных целых чисел $k(k+1)$ всегда является четным (делится на 2), так как одно из чисел $k$ или $k+1$ четное. Отсюда следует, что произведение $4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$. Таким образом, произведение пяти последовательных чисел всегда делится на 8.

Поскольку выражение $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ делится одновременно на 3, 5 и 8, оно должно делиться и на их произведение, равное $3 \times 5 \times 8 = 120$.

Следовательно, мы доказали, что значение выражения $n^5-5n^3+4n$ делится на 120 при каждом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

6.38. Упростите выражения:

1) $\left(\frac{x^2 - y^2}{xy} - \frac{1}{x+y}\right) \cdot \left(\frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x}\right) : \frac{x-y}{x}$;

2) $\left(\frac{m^2 + n^2}{m^2 n^2} \cdot \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right) - \left(\frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2}\right) \cdot \frac{p^2 + n^2}{p^2 n^2}\right) : \frac{p^2 + m^2}{p^2 m^2}$;

3) $\left(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}\right) \cdot \left(\frac{a(b-a)}{a^2 - ab + b^2} + 1\right)$;

4) $\left(\frac{a^2 + b^2}{ab} - 2\right) : \left(\frac{2a^2 + 2ab}{a^2 + 2ab + b^2} - 1\right) \cdot \left(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b}\right)$;

5) $\frac{(x^2 - y^2 - z^2 - 2yz)(x+y-z)}{(x+y+z)(x^2 + z^2 - 2xz - y^2)}$;

6) $\frac{a^2 - 3ab + ac + 2b^2 - 2bc}{a^2 - b^2 + 2bc - c^2}$;

1) Упростим выражение по действиям.
Сначала выполним действие в самых внутренних скобках:
$\frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x} = \frac{x^2 \cdot x - y^2 \cdot y}{xy} = \frac{x^3 - y^3}{xy}$
Теперь умножим результат на $\frac{1}{x+y}$:
$\frac{1}{x+y} \cdot \frac{x^3 - y^3}{xy} = \frac{x^3 - y^3}{(x+y)xy} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x+y)xy}$
Выполним вычитание в больших скобках, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$\frac{x^2 - y^2}{xy} - \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x+y)xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} - \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x+y)xy}$
Приведем к общему знаменателю $(x+y)xy$ и вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:
$\frac{(x-y)(x+y)(x+y) - (x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x+y)xy} = \frac{(x-y)[(x+y)^2 - (x^2+xy+y^2)]}{(x+y)xy}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(x-y)[(x^2+2xy+y^2) - x^2-xy-y^2]}{(x+y)xy} = \frac{(x-y)(xy)}{(x+y)xy}$
Сократим $xy$:
$\frac{x-y}{x+y}$
Наконец, выполним деление:
$\frac{x-y}{x+y} : \frac{x-y}{x} = \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{x}{x-y} = \frac{x}{x+y}$
Ответ: $\frac{x}{x+y}$

2) Обозначим действия и упростим выражение по частям. Выражение имеет вид $(A - B) : C$.
Найдем A: $\frac{m^2+n^2}{m^2n^2} \cdot (\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})$.
Представим первый множитель как сумму дробей: $\frac{m^2+n^2}{m^2n^2} = \frac{m^2}{m^2n^2} + \frac{n^2}{m^2n^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{m^2}$.
Тогда A = $(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{m^2}) \cdot (\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) = -(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}) \cdot (\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2})$.
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получим:
$A = - ((\frac{1}{n^2})^2 - (\frac{1}{m^2})^2) = -(\frac{1}{n^4} - \frac{1}{m^4}) = \frac{1}{m^4} - \frac{1}{n^4}$.
Найдем B: $(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{n^2}) \cdot \frac{p^2+n^2}{p^2n^2}$.
Аналогично, $\frac{p^2+n^2}{p^2n^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}$.
Тогда B = $(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{n^2}) \cdot (\frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}) = -(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{p^2}) \cdot (\frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}) = -(\frac{1}{n^4} - \frac{1}{p^4}) = \frac{1}{p^4} - \frac{1}{n^4}$.
Теперь найдем $A-B$:
$(\frac{1}{m^4} - \frac{1}{n^4}) - (\frac{1}{p^4} - \frac{1}{n^4}) = \frac{1}{m^4} - \frac{1}{n^4} - \frac{1}{p^4} + \frac{1}{n^4} = \frac{1}{m^4} - \frac{1}{p^4}$.
Найдем C: $\frac{p^2+m^2}{p^2m^2} = \frac{p^2}{p^2m^2} + \frac{m^2}{p^2m^2} = \frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2}$.
Выполним деление $(A-B) : C$:
$(\frac{1}{m^4} - \frac{1}{p^4}) : (\frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2}) = \frac{(\frac{1}{m^2})^2 - (\frac{1}{p^2})^2}{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2}} = \frac{(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{p^2})(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2})}{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2}} = \frac{1}{m^2} - \frac{1}{p^2}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{p^2 - m^2}{m^2p^2}$.
Ответ: $\frac{p^2-m^2}{m^2p^2}$

3) Упростим каждый множитель отдельно.
Первый множитель, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} = \frac{b^3+a^3}{a^3b^3} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3}$.
Второй множитель: приведем к общему знаменателю.
$\frac{a(b-a)}{a^2-ab+b^2} + 1 = \frac{ab-a^2}{a^2-ab+b^2} + \frac{a^2-ab+b^2}{a^2-ab+b^2} = \frac{ab-a^2+a^2-ab+b^2}{a^2-ab+b^2} = \frac{b^2}{a^2-ab+b^2}$.
Теперь перемножим упрощенные выражения:
$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3} \cdot \frac{b^2}{a^2-ab+b^2}$.
Сократим общий множитель $(a^2-ab+b^2)$:
$\frac{a+b}{a^3b^3} \cdot b^2 = \frac{a+b}{a^3b}$.
Ответ: $\frac{a+b}{a^3b}$

4) Упростим выражение по действиям.
1. Выражение в первой скобке:
$\frac{a^2+b^2}{ab} - 2 = \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}$.
2. Выражение во вторых скобках содержит два действия. Сначала упростим каждую из внутренних скобок.
$\frac{2a^2+2ab}{a^2+2ab+b^2}-1 = \frac{2a(a+b)}{(a+b)^2}-1 = \frac{2a}{a+b}-1 = \frac{2a-(a+b)}{a+b} = \frac{a-b}{a+b}$.
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b} = \frac{a-b+a+b}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{a^2-b^2}$.
Теперь перемножим результаты:
$(\frac{a-b}{a+b}) \cdot (\frac{2a}{a^2-b^2}) = \frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{2a}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a}{(a+b)^2}$.
3. Выполним деление результата действия 1 на результат действия 2:
$\frac{(a-b)^2}{ab} : \frac{2a}{(a+b)^2} = \frac{(a-b)^2}{ab} \cdot \frac{(a+b)^2}{2a} = \frac{((a-b)(a+b))^2}{2a^2b} = \frac{(a^2-b^2)^2}{2a^2b}$.
Ответ: $\frac{(a^2-b^2)^2}{2a^2b}$

5) Для упрощения дроби разложим на множители выражения в скобках.
Рассмотрим первую скобку в числителе: $x^2 - y^2 - z^2 - 2yz$. Сгруппируем слагаемые:
$x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) = x^2 - (y+z)^2$.
Применим формулу разности квадратов: $(x-(y+z))(x+(y+z)) = (x-y-z)(x+y+z)$.
Рассмотрим вторую скобку в знаменателе: $x^2 + z^2 - 2xz - y^2$. Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 - 2xz + z^2) - y^2 = (x-z)^2 - y^2$.
Применим формулу разности квадратов: $((x-z)-y)((x-z)+y) = (x-z-y)(x-z+y) = (x-y-z)(x+y-z)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(x-y-z)(x+y+z)(x+y-z)}{(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)}$.
Видно, что числитель и знаменатель равны, поэтому можно сократить все множители.
Ответ: $1$

6) Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Знаменатель: $a^2 - b^2 + 2bc - c^2$.
Сгруппируем слагаемые: $a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - (b-c)^2$.
Применим формулу разности квадратов: $(a-(b-c))(a+(b-c)) = (a-b+c)(a+b-c)$.
Числитель: $a^2 - 3ab + ac + 2b^2 - 2bc$.
Разложим его на множители методом группировки. Представим $-3ab$ как $-ab-2ab$:
$a^2 - ab - 2ab + ac + 2b^2 - 2bc = (a^2-ab+ac) - (2ab-2b^2+2bc)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a(a-b+c) - 2b(a-b+c)$.
Вынесем общий множитель $(a-b+c)$:
$(a-2b)(a-b+c)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(a-2b)(a-b+c)}{(a-b+c)(a+b-c)}$.
Сократим общий множитель $(a-b+c)$:
$\frac{a-2b}{a+b-c}$.
Ответ: $\frac{a-2b}{a+b-c}$

6.39. Решите уравнения:

1) $\frac{3x+1}{5x-6}=0$;

2) $\frac{9x^2-1}{3x+1}=0$;

3) $\frac{5x+7}{49-25x^2}=0$;

4) $\frac{x^2-3x}{x^2+7x-30}=\frac{5x^2-x-42}{x^2+7x-30}$;

5) $x^2+\frac{3x-1}{x+4}=16-\frac{1-3x}{x+4}$;

6) $\frac{1}{3x+2}+\frac{3}{5x+6}=\frac{2}{7x+8}$;

7) $\frac{12}{x^2-9}+\frac{x}{x+3}=\frac{2}{x-3}$.

1) $\frac{3x + 1}{5x - 6} = 0$

Рациональное уравнение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы условий:

$\begin{cases} 3x + 1 = 0 \\ 5x - 6 \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение:

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$

Подставим найденное значение $x$ во второе условие, чтобы проверить, не обращается ли знаменатель в ноль:

$5(-\frac{1}{3}) - 6 = -\frac{5}{3} - 6 = -\frac{5}{3} - \frac{18}{3} = -\frac{23}{3}$

Так как $-\frac{23}{3} \neq 0$, условие выполняется. Значит, $x = -\frac{1}{3}$ является решением уравнения.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

2) $\frac{9x^2 - 1}{3x + 1} = 0$

Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю. Числитель при этом должен быть равен нулю.

$\begin{cases} 9x^2 - 1 = 0 \\ 3x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(3x - 1)(3x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x - 1 = 0$ или $3x + 1 = 0$

$3x = 1$ или $3x = -1$

$x_1 = \frac{1}{3}$ или $x_2 = -\frac{1}{3}$

Теперь проверим второе условие системы: $3x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -\frac{1}{3}$.

Сравнивая наши корни с этим ограничением, мы видим, что корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ является посторонним. Единственным решением является $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) $\frac{5x + 7}{49 - 25x^2} = 0$

Составляем систему условий:

$\begin{cases} 5x + 7 = 0 \\ 49 - 25x^2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения:

$5x = -7$

$x = -\frac{7}{5}$

Решаем второе условие (ограничение):

$49 - 25x^2 \neq 0$

$49 \neq 25x^2$

$x^2 \neq \frac{49}{25}$

$x \neq \pm \frac{7}{5}$

Полученный нами корень $x = -\frac{7}{5}$ совпадает с одним из значений, которые недопустимы. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней

4) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 + 7x - 30} = \frac{5x^2 - x - 42}{x^2 + 7x - 30}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем приравнять их числители, но сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x^2 + 7x - 30 \neq 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 7x - 30 = 0$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -7$ и $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 3$.

Значит, ОДЗ: $x \neq -10$ и $x \neq 3$.

Теперь приравниваем числители:

$x^2 - 3x = 5x^2 - x - 42$

Переносим все члены в одну сторону:

$4x^2 + 2x - 42 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2x^2 + x - 21 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 13}{4}$

$x_1 = \frac{-1 + 13}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - 13}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -3.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3.5$

5) $x^2 + \frac{3x - 1}{x + 4} = 16 - \frac{1 - 3x}{x + 4}$

Преобразуем правую часть уравнения: $16 - \frac{1 - 3x}{x + 4} = 16 + \frac{-(1-3x)}{x+4} = 16 + \frac{3x - 1}{x+4}$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 + \frac{3x - 1}{x + 4} = 16 + \frac{3x - 1}{x + 4}$

ОДЗ: $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

Вычтем из обеих частей уравнения одинаковое слагаемое $\frac{3x - 1}{x + 4}$:

$x^2 = 16$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Проверяем корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x \neq -4$. Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Ответ: $4$

6) $\frac{1}{3x + 2} + \frac{3}{5x + 6} = \frac{2}{7x + 8}$

ОДЗ: $3x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{2}{3}$; $5x+6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{6}{5}$; $7x+8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{8}{7}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1(5x+6) + 3(3x+2)}{(3x+2)(5x+6)} = \frac{2}{7x+8}$

$\frac{5x+6 + 9x+6}{15x^2+18x+10x+12} = \frac{2}{7x+8}$

$\frac{14x+12}{15x^2+28x+12} = \frac{2}{7x+8}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(14x+12)(7x+8) = 2(15x^2+28x+12)$

Заметим, что $14x+12 = 2(7x+6)$, подставим в уравнение:

$2(7x+6)(7x+8) = 2(15x^2+28x+12)$

Разделим обе части на 2:

$(7x+6)(7x+8) = 15x^2+28x+12$

$49x^2 + 56x + 42x + 48 = 15x^2+28x+12$

$49x^2 + 98x + 48 = 15x^2+28x+12$

Перенесем все в левую часть:

$34x^2 + 70x + 36 = 0$

Разделим на 2:

$17x^2 + 35x + 18 = 0$

Решаем через дискриминант:

$D = 35^2 - 4 \cdot 17 \cdot 18 = 1225 - 1224 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-35 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 17} = \frac{-35 \pm 1}{34}$

$x_1 = \frac{-35+1}{34} = \frac{-34}{34} = -1$

$x_2 = \frac{-35-1}{34} = \frac{-36}{34} = -\frac{18}{17}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; -\frac{18}{17}$

7) $\frac{12}{x^2 - 9} + \frac{x}{x + 3} = \frac{2}{x - 3}$

Разложим знаменатель $x^2-9$ на множители: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

$\frac{12}{(x-3)(x+3)} + \frac{x}{x+3} = \frac{2}{x-3}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Умножим все уравнение на общий знаменатель $(x-3)(x+3)$, чтобы избавиться от дробей:

$12 + x(x-3) = 2(x+3)$

Раскроем скобки:

$12 + x^2 - 3x = 2x + 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 3x - 2x + 12 - 6 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета:

$x_1+x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Сверяем корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условиям. Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), поэтому он является посторонним.

Ответ: $2$

6.40. Решите уравнения при каждом значении параметра a:

1) $a(a-1)x=a;$

2) $x^2+ax+36=0;$

3) $x^2-(2a+1)x+a^2+a=0;$

4) $\frac{x-a}{x-3}=0;$

5) $\frac{x^2-a^2}{x-3}=0;$

6) $\frac{x+a}{x+3}=0$

1) Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Рассмотрим несколько случаев в зависимости от значения параметра $a$. Коэффициент при $x$ равен $a(a-1)$.

Случай 1: $a(a-1) \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $a \neq 1$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $a(a-1)$:

$x = \frac{a}{a(a-1)} = \frac{1}{a-1}$.

Случай 2: $a(a-1) = 0$. Это возможно, если $a=0$ или $a=1$.

Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, $x$ - любое действительное число.

Если $a=1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 1$. Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a=0$, то $x$ — любое число; если $a=1$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 1$, то $x = \frac{1}{a-1}$.

2) Это квадратное уравнение относительно $x$. Его решение зависит от знака дискриминанта $D$.

$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = a^2 - 144$.

Случай 1: $D > 0$, то есть $a^2 - 144 > 0$, что равносильно $|a| > 12$ (то есть $a > 12$ или $a < -12$). Уравнение имеет два различных действительных корня:

$x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2-144}}{2}$.

Случай 2: $D = 0$, то есть $a^2 - 144 = 0$, что равносильно $a = 12$ или $a = -12$. Уравнение имеет один действительный корень (кратности 2): $x = \frac{-a}{2}$.

Если $a=12$, то $x = \frac{-12}{2} = -6$.

Если $a=-12$, то $x = \frac{12}{2} = 6$.

Случай 3: $D < 0$, то есть $a^2 - 144 < 0$, что равносильно $|a| < 12$ (то есть $-12 < a < 12$). Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $|a| < 12$, то корней нет; если $a=12$, то $x=-6$; если $a=-12$, то $x=6$; если $|a|>12$, то $x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2-144}}{2}$.

3) Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант $D$.

$D = (-(2a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2+a) = (2a+1)^2 - 4(a^2+a) = (4a^2+4a+1) - (4a^2+4a) = 1$.

Поскольку $D = 1 > 0$ при любом значении параметра $a$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-(-(2a+1)) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{2a+1 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{2a+1+1}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$.

$x_2 = \frac{2a+1-1}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения $x_1=a$, $x_2=a+1$.

4) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:

$\begin{cases} x-a=0, \\ x-3 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x=a$. Это значение является корнем исходного уравнения, если оно удовлетворяет второму условию системы, то есть $a \neq 3$.

Случай 1: $a \neq 3$. Тогда $x=a$ является единственным корнем уравнения.

Случай 2: $a=3$. Тогда потенциальный корень $x=3$ не входит в область допустимых значений ($x \neq 3$), поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ: если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 3$, то $x=a$.

5) Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2-a^2=0, \\ x-3 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 = a^2$ получаем два потенциальных корня: $x=a$ и $x=-a$. Эти значения будут корнями исходного уравнения, если они удовлетворяют условию $x \neq 3$.

1. Если $a=3$. Потенциальные корни $x=3$ и $x=-3$. Значение $x=3$ не является корнем, так как знаменатель обращается в ноль. Единственный корень: $x=-3$.

2. Если $a=-3$. Потенциальные корни $x=-3$ и $x=3$. Значение $x=3$ не является корнем. Единственный корень: $x=-3$.

3. Если $a \neq 3$ и $a \neq -3$. Тогда ни $a$, ни $-a$ не равны 3.
- Если $a=0$, то уравнение имеет один корень $x=0$.
- Если $a \neq 0$, то уравнение имеет два различных корня $x=a$ и $x=-a$.

Ответ: если $a=3$ или $a=-3$, то $x=-3$; если $a=0$, то $x=0$; если $a \neq 0$, $a \neq 3$ и $a \neq -3$, то $x_1=a, x_2=-a$.

6) Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x+a=0, \\ x+3 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x=-a$. Это значение будет корнем, если $-a \neq -3$, то есть $a \neq 3$.

Случай 1: $a \neq 3$. Тогда $x=-a$ является единственным корнем.

Случай 2: $a=3$. Тогда потенциальный корень $x=-3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$, поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ: если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 3$, то $x=-a$.