Номер 6.37, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.37. Докажите, что при каждом натуральном $n$ значение выражения $n^5-5n^3+4n$ делится на 120.

Для доказательства того, что значение выражения $n^5-5n^3+4n$ делится на 120 при каждом натуральном $n$, преобразуем данное выражение, разложив его на множители.

Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:$n^5-5n^3+4n = n(n^4-5n^2+4)$.

Выражение в скобках, $n^4-5n^2+4$, является биквадратным трехчленом. Его можно разложить на множители как квадратный трехчлен относительно $n^2$. Для этого решим уравнение $x^2-5x+4=0$, где $x=n^2$. Корнями этого уравнения являются $x_1=1$ и $x_2=4$. Следовательно, $n^4-5n^2+4 = (n^2-1)(n^2-4)$.

Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получаем:$n^2-1 = (n-1)(n+1)$$n^2-4 = (n-2)(n+2)$

Таким образом, исходное выражение полностью раскладывается на множители:$n^5-5n^3+4n = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.

Переупорядочив множители в порядке возрастания, получим произведение пяти последовательных целых чисел:$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.

Теперь докажем, что это произведение делится на 120. Для этого достаточно показать, что оно делится на 3, 5 и 8, так как $120 = 3 \times 5 \times 8$, а числа 3, 5 и 8 являются попарно взаимно простыми.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел одно число обязательно кратно 3. Поскольку у нас произведение пяти последовательных чисел, оно гарантированно содержит множитель, кратный 3, и, следовательно, все произведение делится на 3.

Делимость на 5: Среди любых пяти последовательных целых чисел одно число обязательно кратно 5. Следовательно, их произведение делится на 5.

Делимость на 8: В последовательности из пяти последовательных целых чисел есть как минимум два четных числа. Более того, в любой последовательности из четырех последовательных целых чисел (которая является частью нашей последовательности из пяти) есть ровно два четных числа. Эти два числа можно представить как $2k$ и $2k+2$ для некоторого целого $k$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Произведение двух последовательных целых чисел $k(k+1)$ всегда является четным (делится на 2), так как одно из чисел $k$ или $k+1$ четное. Отсюда следует, что произведение $4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$. Таким образом, произведение пяти последовательных чисел всегда делится на 8.

Поскольку выражение $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ делится одновременно на 3, 5 и 8, оно должно делиться и на их произведение, равное $3 \times 5 \times 8 = 120$.

Следовательно, мы доказали, что значение выражения $n^5-5n^3+4n$ делится на 120 при каждом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.