Номер 6.38, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.38. Упростите выражения:

1) $\left(\frac{x^2 - y^2}{xy} - \frac{1}{x+y}\right) \cdot \left(\frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x}\right) : \frac{x-y}{x}$;

2) $\left(\frac{m^2 + n^2}{m^2 n^2} \cdot \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right) - \left(\frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2}\right) \cdot \frac{p^2 + n^2}{p^2 n^2}\right) : \frac{p^2 + m^2}{p^2 m^2}$;

3) $\left(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}\right) \cdot \left(\frac{a(b-a)}{a^2 - ab + b^2} + 1\right)$;

4) $\left(\frac{a^2 + b^2}{ab} - 2\right) : \left(\frac{2a^2 + 2ab}{a^2 + 2ab + b^2} - 1\right) \cdot \left(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b}\right)$;

5) $\frac{(x^2 - y^2 - z^2 - 2yz)(x+y-z)}{(x+y+z)(x^2 + z^2 - 2xz - y^2)}$;

6) $\frac{a^2 - 3ab + ac + 2b^2 - 2bc}{a^2 - b^2 + 2bc - c^2}$;

1) Упростим выражение по действиям.
Сначала выполним действие в самых внутренних скобках:
$\frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x} = \frac{x^2 \cdot x - y^2 \cdot y}{xy} = \frac{x^3 - y^3}{xy}$
Теперь умножим результат на $\frac{1}{x+y}$:
$\frac{1}{x+y} \cdot \frac{x^3 - y^3}{xy} = \frac{x^3 - y^3}{(x+y)xy} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x+y)xy}$
Выполним вычитание в больших скобках, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$\frac{x^2 - y^2}{xy} - \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x+y)xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} - \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x+y)xy}$
Приведем к общему знаменателю $(x+y)xy$ и вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:
$\frac{(x-y)(x+y)(x+y) - (x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x+y)xy} = \frac{(x-y)[(x+y)^2 - (x^2+xy+y^2)]}{(x+y)xy}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(x-y)[(x^2+2xy+y^2) - x^2-xy-y^2]}{(x+y)xy} = \frac{(x-y)(xy)}{(x+y)xy}$
Сократим $xy$:
$\frac{x-y}{x+y}$
Наконец, выполним деление:
$\frac{x-y}{x+y} : \frac{x-y}{x} = \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{x}{x-y} = \frac{x}{x+y}$
Ответ: $\frac{x}{x+y}$

2) Обозначим действия и упростим выражение по частям. Выражение имеет вид $(A - B) : C$.
Найдем A: $\frac{m^2+n^2}{m^2n^2} \cdot (\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})$.
Представим первый множитель как сумму дробей: $\frac{m^2+n^2}{m^2n^2} = \frac{m^2}{m^2n^2} + \frac{n^2}{m^2n^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{m^2}$.
Тогда A = $(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{m^2}) \cdot (\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) = -(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}) \cdot (\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2})$.
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получим:
$A = - ((\frac{1}{n^2})^2 - (\frac{1}{m^2})^2) = -(\frac{1}{n^4} - \frac{1}{m^4}) = \frac{1}{m^4} - \frac{1}{n^4}$.
Найдем B: $(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{n^2}) \cdot \frac{p^2+n^2}{p^2n^2}$.
Аналогично, $\frac{p^2+n^2}{p^2n^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}$.
Тогда B = $(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{n^2}) \cdot (\frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}) = -(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{p^2}) \cdot (\frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}) = -(\frac{1}{n^4} - \frac{1}{p^4}) = \frac{1}{p^4} - \frac{1}{n^4}$.
Теперь найдем $A-B$:
$(\frac{1}{m^4} - \frac{1}{n^4}) - (\frac{1}{p^4} - \frac{1}{n^4}) = \frac{1}{m^4} - \frac{1}{n^4} - \frac{1}{p^4} + \frac{1}{n^4} = \frac{1}{m^4} - \frac{1}{p^4}$.
Найдем C: $\frac{p^2+m^2}{p^2m^2} = \frac{p^2}{p^2m^2} + \frac{m^2}{p^2m^2} = \frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2}$.
Выполним деление $(A-B) : C$:
$(\frac{1}{m^4} - \frac{1}{p^4}) : (\frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2}) = \frac{(\frac{1}{m^2})^2 - (\frac{1}{p^2})^2}{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2}} = \frac{(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{p^2})(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2})}{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2}} = \frac{1}{m^2} - \frac{1}{p^2}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{p^2 - m^2}{m^2p^2}$.
Ответ: $\frac{p^2-m^2}{m^2p^2}$

3) Упростим каждый множитель отдельно.
Первый множитель, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} = \frac{b^3+a^3}{a^3b^3} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3}$.
Второй множитель: приведем к общему знаменателю.
$\frac{a(b-a)}{a^2-ab+b^2} + 1 = \frac{ab-a^2}{a^2-ab+b^2} + \frac{a^2-ab+b^2}{a^2-ab+b^2} = \frac{ab-a^2+a^2-ab+b^2}{a^2-ab+b^2} = \frac{b^2}{a^2-ab+b^2}$.
Теперь перемножим упрощенные выражения:
$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3} \cdot \frac{b^2}{a^2-ab+b^2}$.
Сократим общий множитель $(a^2-ab+b^2)$:
$\frac{a+b}{a^3b^3} \cdot b^2 = \frac{a+b}{a^3b}$.
Ответ: $\frac{a+b}{a^3b}$

4) Упростим выражение по действиям.
1. Выражение в первой скобке:
$\frac{a^2+b^2}{ab} - 2 = \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}$.
2. Выражение во вторых скобках содержит два действия. Сначала упростим каждую из внутренних скобок.
$\frac{2a^2+2ab}{a^2+2ab+b^2}-1 = \frac{2a(a+b)}{(a+b)^2}-1 = \frac{2a}{a+b}-1 = \frac{2a-(a+b)}{a+b} = \frac{a-b}{a+b}$.
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b} = \frac{a-b+a+b}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{a^2-b^2}$.
Теперь перемножим результаты:
$(\frac{a-b}{a+b}) \cdot (\frac{2a}{a^2-b^2}) = \frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{2a}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a}{(a+b)^2}$.
3. Выполним деление результата действия 1 на результат действия 2:
$\frac{(a-b)^2}{ab} : \frac{2a}{(a+b)^2} = \frac{(a-b)^2}{ab} \cdot \frac{(a+b)^2}{2a} = \frac{((a-b)(a+b))^2}{2a^2b} = \frac{(a^2-b^2)^2}{2a^2b}$.
Ответ: $\frac{(a^2-b^2)^2}{2a^2b}$

5) Для упрощения дроби разложим на множители выражения в скобках.
Рассмотрим первую скобку в числителе: $x^2 - y^2 - z^2 - 2yz$. Сгруппируем слагаемые:
$x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) = x^2 - (y+z)^2$.
Применим формулу разности квадратов: $(x-(y+z))(x+(y+z)) = (x-y-z)(x+y+z)$.
Рассмотрим вторую скобку в знаменателе: $x^2 + z^2 - 2xz - y^2$. Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 - 2xz + z^2) - y^2 = (x-z)^2 - y^2$.
Применим формулу разности квадратов: $((x-z)-y)((x-z)+y) = (x-z-y)(x-z+y) = (x-y-z)(x+y-z)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(x-y-z)(x+y+z)(x+y-z)}{(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)}$.
Видно, что числитель и знаменатель равны, поэтому можно сократить все множители.
Ответ: $1$

6) Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Знаменатель: $a^2 - b^2 + 2bc - c^2$.
Сгруппируем слагаемые: $a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - (b-c)^2$.
Применим формулу разности квадратов: $(a-(b-c))(a+(b-c)) = (a-b+c)(a+b-c)$.
Числитель: $a^2 - 3ab + ac + 2b^2 - 2bc$.
Разложим его на множители методом группировки. Представим $-3ab$ как $-ab-2ab$:
$a^2 - ab - 2ab + ac + 2b^2 - 2bc = (a^2-ab+ac) - (2ab-2b^2+2bc)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a(a-b+c) - 2b(a-b+c)$.
Вынесем общий множитель $(a-b+c)$:
$(a-2b)(a-b+c)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(a-2b)(a-b+c)}{(a-b+c)(a+b-c)}$.
Сократим общий множитель $(a-b+c)$:
$\frac{a-2b}{a+b-c}$.
Ответ: $\frac{a-2b}{a+b-c}$