Номер 6.40, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.40. Решите уравнения при каждом значении параметра a:

1) $a(a-1)x=a;$

2) $x^2+ax+36=0;$

3) $x^2-(2a+1)x+a^2+a=0;$

4) $\frac{x-a}{x-3}=0;$

5) $\frac{x^2-a^2}{x-3}=0;$

6) $\frac{x+a}{x+3}=0$

1) Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Рассмотрим несколько случаев в зависимости от значения параметра $a$. Коэффициент при $x$ равен $a(a-1)$.

Случай 1: $a(a-1) \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $a \neq 1$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $a(a-1)$:

$x = \frac{a}{a(a-1)} = \frac{1}{a-1}$.

Случай 2: $a(a-1) = 0$. Это возможно, если $a=0$ или $a=1$.

Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, $x$ - любое действительное число.

Если $a=1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 1$. Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a=0$, то $x$ — любое число; если $a=1$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 1$, то $x = \frac{1}{a-1}$.

2) Это квадратное уравнение относительно $x$. Его решение зависит от знака дискриминанта $D$.

$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = a^2 - 144$.

Случай 1: $D > 0$, то есть $a^2 - 144 > 0$, что равносильно $|a| > 12$ (то есть $a > 12$ или $a < -12$). Уравнение имеет два различных действительных корня:

$x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2-144}}{2}$.

Случай 2: $D = 0$, то есть $a^2 - 144 = 0$, что равносильно $a = 12$ или $a = -12$. Уравнение имеет один действительный корень (кратности 2): $x = \frac{-a}{2}$.

Если $a=12$, то $x = \frac{-12}{2} = -6$.

Если $a=-12$, то $x = \frac{12}{2} = 6$.

Случай 3: $D < 0$, то есть $a^2 - 144 < 0$, что равносильно $|a| < 12$ (то есть $-12 < a < 12$). Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $|a| < 12$, то корней нет; если $a=12$, то $x=-6$; если $a=-12$, то $x=6$; если $|a|>12$, то $x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2-144}}{2}$.

3) Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант $D$.

$D = (-(2a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2+a) = (2a+1)^2 - 4(a^2+a) = (4a^2+4a+1) - (4a^2+4a) = 1$.

Поскольку $D = 1 > 0$ при любом значении параметра $a$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-(-(2a+1)) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{2a+1 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{2a+1+1}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$.

$x_2 = \frac{2a+1-1}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения $x_1=a$, $x_2=a+1$.

4) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:

$\begin{cases} x-a=0, \\ x-3 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x=a$. Это значение является корнем исходного уравнения, если оно удовлетворяет второму условию системы, то есть $a \neq 3$.

Случай 1: $a \neq 3$. Тогда $x=a$ является единственным корнем уравнения.

Случай 2: $a=3$. Тогда потенциальный корень $x=3$ не входит в область допустимых значений ($x \neq 3$), поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ: если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 3$, то $x=a$.

5) Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2-a^2=0, \\ x-3 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 = a^2$ получаем два потенциальных корня: $x=a$ и $x=-a$. Эти значения будут корнями исходного уравнения, если они удовлетворяют условию $x \neq 3$.

1. Если $a=3$. Потенциальные корни $x=3$ и $x=-3$. Значение $x=3$ не является корнем, так как знаменатель обращается в ноль. Единственный корень: $x=-3$.

2. Если $a=-3$. Потенциальные корни $x=-3$ и $x=3$. Значение $x=3$ не является корнем. Единственный корень: $x=-3$.

3. Если $a \neq 3$ и $a \neq -3$. Тогда ни $a$, ни $-a$ не равны 3.
- Если $a=0$, то уравнение имеет один корень $x=0$.
- Если $a \neq 0$, то уравнение имеет два различных корня $x=a$ и $x=-a$.

Ответ: если $a=3$ или $a=-3$, то $x=-3$; если $a=0$, то $x=0$; если $a \neq 0$, $a \neq 3$ и $a \neq -3$, то $x_1=a, x_2=-a$.

6) Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x+a=0, \\ x+3 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x=-a$. Это значение будет корнем, если $-a \neq -3$, то есть $a \neq 3$.

Случай 1: $a \neq 3$. Тогда $x=-a$ является единственным корнем.

Случай 2: $a=3$. Тогда потенциальный корень $x=-3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$, поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ: если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 3$, то $x=-a$.