Номер 6.43, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.43. При каких значениях $a$ система уравнений имеет по меньшей мере три разных корня:

$\begin{cases} y^2 + 2y(2+x) + (x^2+2x)(4-x^2) = 0, \\ y - ax - 3a = 0? \end{cases}$

Решение:

Для начала преобразуем первое уравнение системы. Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно переменной $y$: $y^2 + 2y(2+x) + (x^2+2x)(4-x^2) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения. Для удобства вычислений разделим его на 4: $D/4 = (2+x)^2 - (x^2+2x)(4-x^2) = (x+2)^2 - x(x+2)(2-x)(2+x)$ Вынесем общий множитель $(x+2)^2$: $D/4 = (x+2)^2 [1 - x(2-x)] = (x+2)^2 [1 - 2x + x^2] = (x+2)^2 (x-1)^2$ Таким образом, $D = [2(x+2)(x-1)]^2$.

Так как дискриминант является полным квадратом, корни уравнения для $y$ легко находятся: $y = \frac{-2(2+x) \pm \sqrt{[2(x+2)(x-1)]^2}}{2} = -(x+2) \pm (x+2)(x-1)$

Отсюда получаем два выражения для $y$: $y_1 = -(x+2) + (x+2)(x-1) = (x+2)(-1 + x - 1) = (x+2)(x-2) = x^2 - 4$ $y_2 = -(x+2) - (x+2)(x-1) = (x+2)(-1 - (x-1)) = (x+2)(-1 - x + 1) = -x(x+2) = -x^2 - 2x$

Следовательно, первое уравнение системы эквивалентно совокупности двух уравнений, графиками которых являются параболы: $y = x^2 - 4$ (парабола $P_1$) $y = -x^2 - 2x$ (парабола $P_2$)

Второе уравнение системы, $y - ax - 3a = 0$, можно переписать в виде $y = a(x+3)$. Это уравнение задает семейство прямых, проходящих через точку $(-3, 0)$ с угловым коэффициентом $a$.

Задача сводится к тому, чтобы найти значения параметра $a$, при которых прямая $y=a(x+3)$ имеет по меньшей мере три общие точки с объединением графиков парабол $P_1$ и $P_2$.

Найдем точки пересечения парабол $P_1$ и $P_2$: $x^2 - 4 = -x^2 - 2x \implies 2x^2 + 2x - 4 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0$ Решая квадратное уравнение, получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Соответствующие ординаты: При $x=1$, $y = 1^2 - 4 = -3$. Точка $B(1, -3)$. При $x=-2$, $y = (-2)^2 - 4 = 0$. Точка $A(-2, 0)$.

Для наглядности изобразим графики парабол и некоторые ключевые точки на координатной плоскости. Парабола $P_1$ $y=x^2-4$ имеет вершину в $(0,-4)$ и ветви вверх. Парабола $P_2$ $y=-x^2-2x = -(x+1)^2+1$ имеет вершину в $(-1,1)$ и ветви вниз.

Число решений системы равно числу точек пересечения прямой $y=a(x+3)$ с объединением парабол. Проанализируем это число, находя критические значения параметра $a$.

1. Касание прямой и парабол.
- Касание $P_1$: $x^2-ax-(3a+4)=0$. Дискриминант $D_1 = a^2+12a+16=0$ при $a = -6 \pm \sqrt{36-16} = -6 \pm \sqrt{20} = -6 \pm 2\sqrt{5}$.
- Касание $P_2$: $x^2+(a+2)x+3a=0$. Дискриминант $D_2 = (a+2)^2-12a = a^2-8a+4=0$ при $a = 4 \pm \sqrt{16-4} = 4 \pm \sqrt{12} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.

2. Прохождение прямой через точки пересечения парабол.
- Прямая проходит через $A(-2, 0)$: $0 = a(-2+3) \implies a=0$.
- Прямая проходит через $B(1, -3)$: $-3 = a(1+3) \implies 4a=-3 \implies a=-3/4$.

Расположим эти критические значения $a$ на числовой оси: $-6-2\sqrt{5} < -6+2\sqrt{5} < -3/4 < 0 < 4-2\sqrt{3} < 4+2\sqrt{3}$.

Проанализируем количество решений ($N$) в каждом из полученных интервалов, вращая прямую вокруг точки $(-3,0)$. - При $a \in (-\infty, -6-2\sqrt{5})$, прямая пересекает каждую параболу в двух точках. $N=4$. - При $a = -6-2\sqrt{5}$, прямая касается $P_1$ и пересекает $P_2$ в двух точках. $N=1+2=3$. - При $a \in (-6-2\sqrt{5}, -6+2\sqrt{5})$, прямая не пересекает $P_1$ и пересекает $P_2$ в двух точках. $N=0+2=2$. - При $a = -6+2\sqrt{5}$, прямая касается $P_1$ и пересекает $P_2$ в двух точках. $N=1+2=3$. - При $a \in (-6+2\sqrt{5}, 4-2\sqrt{3})$, прямая пересекает каждую параболу в двух точках. Если $a \neq -3/4$ и $a \neq 0$, то все 4 точки различны, $N=4$. Если $a=-3/4$ или $a=0$, прямая проходит через общую точку парабол, и число различных решений становится $N=2+2-1=3$. В любом случае, для этого интервала $N \ge 3$. - При $a = 4-2\sqrt{3}$, прямая касается $P_2$ и пересекает $P_1$ в двух точках. $N=2+1=3$. - При $a \in (4-2\sqrt{3}, 4+2\sqrt{3})$, прямая пересекает $P_1$ в двух точках, но не пересекает $P_2$. $N=2+0=2$. - При $a = 4+2\sqrt{3}$, прямая касается $P_2$ и пересекает $P_1$ в двух точках. $N=2+1=3$. - При $a \in (4+2\sqrt{3}, \infty)$, прямая пересекает каждую параболу в двух точках. $N=4$.

Система имеет по меньшей мере три различных корня, если $N \ge 3$. Объединяя все случаи, где это условие выполняется, получаем:

Ответ: $a \in (-\infty, -6-2\sqrt{5}] \cup [-6+2\sqrt{5}, 4-2\sqrt{3}] \cup [4+2\sqrt{3}, \infty)$.