Номер 6.41, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.41. Решите уравнения:

1) $x^4-5x^2+4=0$

2) $7x^4-x^2-6=0$

3) $3x^4-5x^2+2=0$

4) $(5x^2+x-1)^2 - (5x^2+x-1)-2=0$

5) $(3x^2-x-1)^2-18x^2+6x-1=0$

6) $(x+\frac{1}{x})^2 - 5(x+\frac{1}{x})+6=0$

7) $x^2+5x+8+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

8) $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$

9) $10x^4-29x^3+30x^2-29x+10=0$

10) $\frac{2x^2-5x+4}{3x-2} + \frac{15x-10}{2x^2-5x+4} = 0$

11) $\frac{x^2+5x-1}{2x-1} + \frac{2x-1}{x^2+5x-1} = 5,2$.

1)

Дано уравнение $x^4-5x^2+4=0$.

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение: $y^2 - 5y + 4 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Оба значения $y$ неотрицательны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = y_1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

2. $x^2 = y_2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$.

2)

Дано уравнение $7x^4-x^2-6 = 0$.

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение примет вид: $7y^2 - y - 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(7)(-6) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 13}{14}$.

$y_1 = \frac{1+13}{14} = \frac{14}{14} = 1$.

$y_2 = \frac{1-13}{14} = \frac{-12}{14} = -\frac{6}{7}$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y_1=1$. Корень $y_2 = -6/7$ является посторонним.

Выполним обратную замену: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Ответ: $x \in \{-1, 1\}$.

3)

Дано уравнение $3x^4-5x^2+2 = 0$.

Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $3y^2 - 5y + 2 = 0$.

Сумма коэффициентов $3 - 5 + 2 = 0$, следовательно, один из корней равен 1. $y_1 = 1$.

Второй корень по теореме Виета равен $y_2 = c/a = 2/3$.

Оба корня неотрицательны. Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

2. $x^2 = 2/3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2/3} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $x \in \{-1, 1, -\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\}$.

4)

Дано уравнение $(5x^2+x-1)^2 - (5x^2+x-1) - 2 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $y = 5x^2+x-1$.

Уравнение примет вид: $y^2 - y - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Выполним обратную замену для каждого из найденных корней $y$.

1. $5x^2+x-1 = 2 \Rightarrow 5x^2+x-3=0$.

$D = 1^2 - 4(5)(-3) = 1+60 = 61$.

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}$.

2. $5x^2+x-1 = -1 \Rightarrow 5x^2+x=0 \Rightarrow x(5x+1)=0$.

Отсюда $x=0$ или $5x+1=0 \Rightarrow x = -1/5$.

Ответ: $x \in \{0, -1/5, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}\}$.

5)

Дано уравнение $(3x^2-x-1)^2-18x^2+6x-1 = 0$.

Преобразуем последние три члена: $-18x^2+6x-1 = -6(3x^2-x)-1$.

Уравнение можно переписать в виде: $(3x^2-x-1)^2 - 6(3x^2-x) - 1 = 0$.

Введем замену $y = 3x^2-x$. Уравнение примет вид $(y-1)^2 - 6y - 1 = 0$.

Раскроем скобки: $y^2-2y+1-6y-1=0 \Rightarrow y^2-8y=0 \Rightarrow y(y-8)=0$.

Отсюда $y=0$ или $y=8$.

Выполним обратную замену.

1. $3x^2-x = 0 \Rightarrow x(3x-1)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=1/3$.

2. $3x^2-x = 8 \Rightarrow 3x^2-x-8=0$.

$D = (-1)^2 - 4(3)(-8) = 1+96 = 97$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{6}$.

Ответ: $x \in \{0, 1/3, \frac{1 - \sqrt{97}}{6}, \frac{1 + \sqrt{97}}{6}\}$.

6)

Дано уравнение $(\text{x} + \frac{1}{x})^2 - 5(x + \frac{1}{x}) + 6 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Введем замену $y = x + \frac{1}{x}$.

Уравнение примет вид: $y^2 - 5y + 6 = 0$.

По теореме Виета, корни $y_1=2$ и $y_2=3$.

Выполним обратную замену.

1. $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2+1=2x \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1$.

2. $x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2+1=3x \Rightarrow x^2-3x+1=0$.

$D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9-4=5$.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in \{1, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\}$.

7)

Дано уравнение $x^2 + 5x + 8 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$.

ОДЗ: $x \ne 0$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (5x + \frac{5}{x}) + 8 = 0 \Rightarrow (x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) + 8 = 0$.

Введем замену $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение: $(y^2 - 2) + 5y + 8 = 0 \Rightarrow y^2 + 5y + 6 = 0$.

По теореме Виета, корни $y_1=-2$ и $y_2=-3$.

Выполним обратную замену.

1. $x + \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2+1=-2x \Rightarrow x^2+2x+1=0 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1$.

2. $x + \frac{1}{x} = -3 \Rightarrow x^2+1=-3x \Rightarrow x^2+3x+1=0$.

$D = 3^2 - 4(1)(1) = 9-4=5$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in \{-1, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\}$.

8)

Дано уравнение $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$.

Это симметрическое (возвратное) уравнение четвертой степени. Так как $x=0$ не является корнем, разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2} = 0$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^2+\frac{1}{x^2}) - 5(x+\frac{1}{x}) + 8 = 0$.

Введем замену $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.

Уравнение примет вид: $(y^2-2) - 5y + 8 = 0 \Rightarrow y^2 - 5y + 6 = 0$.

Корни этого уравнения $y_1=2$ и $y_2=3$.

Выполним обратную замену.

1. $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1$.

2. $x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2-3x+1=0 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x \in \{1, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\}$.

9)

Дано уравнение $10x^4-29x^3+30x^2-29x+10=0$.

Это симметрическое уравнение. Так как $x=0$ не является корнем, разделим на $x^2$:

$10x^2-29x+30-\frac{29}{x}+\frac{10}{x^2} = 0$.

Сгруппируем: $10(x^2+\frac{1}{x^2}) - 29(x+\frac{1}{x}) + 30 = 0$.

Введем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$.

$10(y^2-2) - 29y + 30 = 0 \Rightarrow 10y^2-20-29y+30=0 \Rightarrow 10y^2-29y+10=0$.

$D_y = (-29)^2 - 4(10)(10) = 841-400=441=21^2$.

$y = \frac{29 \pm 21}{20}$. Корни $y_1 = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$ и $y_2 = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

Выполним обратную замену.

1. $x+\frac{1}{x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2x^2+2=5x \Rightarrow 2x^2-5x+2=0$.

$D_x = 25 - 16 = 9 = 3^2$. $x=\frac{5 \pm 3}{4}$. Корни $x_1=2, x_2=1/2$.

2. $x+\frac{1}{x} = \frac{2}{5} \Rightarrow 5x^2+5=2x \Rightarrow 5x^2-2x+5=0$.

$D_x = 4 - 4(5)(5) = 4-100 = -96 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $x \in \{1/2, 2\}$.

10)

Дано уравнение $\frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2} + \frac{15x - 10}{2x^2 - 5x + 4} = 0$.

ОДЗ: $3x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2/3$. Также $2x^2-5x+4 \ne 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-5)^2 - 4(2)(4) = 25-32 = -7 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $2x^2-5x+4 > 0$ для всех $x$.

Заметим, что $15x-10 = 5(3x-2)$.

Введем замену $y = \frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2}$. Уравнение примет вид $y + \frac{5}{y} = 0$.

Домножим на $y$ (так как $y \ne 0$): $y^2 + 5 = 0 \Rightarrow y^2 = -5$.

Это уравнение не имеет действительных решений для $y$, следовательно, исходное уравнение также не имеет действительных корней.

Другой способ: приведем к общему знаменателю.

$\frac{(2x^2 - 5x + 4)^2 + 5(3x - 2)^2}{(3x - 2)(2x^2 - 5x + 4)} = 0$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Числитель представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(2x^2 - 5x + 4)^2 \ge 0$ и $5(3x-2)^2 \ge 0$. Сумма равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю. Однако, как мы показали, $2x^2-5x+4$ никогда не равно нулю. Значит, числитель всегда строго положителен.

Ответ: корней нет.

11)

Дано уравнение $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} + \frac{2x - 1}{x^2 + 5x - 1} = 5,2$.

ОДЗ: $2x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1/2$ и $x^2+5x-1 \ne 0$.

Введем замену $y = \frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1}$.

Уравнение примет вид $y + \frac{1}{y} = 5,2$. Запишем $5,2$ как $\frac{26}{5}$.

$y + \frac{1}{y} = \frac{26}{5}$. Домножим на $5y$: $5y^2 + 5 = 26y \Rightarrow 5y^2 - 26y + 5 = 0$.

$D_y = (-26)^2 - 4(5)(5) = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

$y = \frac{26 \pm 24}{10}$. Корни $y_1 = \frac{50}{10} = 5$ и $y_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Выполним обратную замену.

1. $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} = 5 \Rightarrow x^2+5x-1 = 10x-5 \Rightarrow x^2-5x+4=0$.

По теореме Виета, корни $x_1=1, x_2=4$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2. $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} = \frac{1}{5} \Rightarrow 5(x^2+5x-1) = 2x-1 \Rightarrow 5x^2+25x-5=2x-1 \Rightarrow 5x^2+23x-4=0$.

$D_x = 23^2 - 4(5)(-4) = 529+80 = 609$.

$x = \frac{-23 \pm \sqrt{609}}{10}$. Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in \{1, 4, \frac{-23 - \sqrt{609}}{10}, \frac{-23 + \sqrt{609}}{10}\}$.