Номер 6.46, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.46. Сравните числа:

1) $\frac{86}{87}$ и $\frac{87}{88}$;

2) $\frac{113}{112}$ и $\frac{112}{111}$;

3) $\sqrt{23} - \sqrt{11}$ и $\sqrt{22} - \sqrt{10}$;

4) $\sqrt{38} + \sqrt{20}$ и $\sqrt{37} + \sqrt{21}$;

5) $b+5$ и $2b+3$;

6) $a^4+1$ и $2a|a|$.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{86}{87}$ и $\frac{87}{88}$, представим их в виде разности с единицей.
$\frac{86}{87} = \frac{87-1}{87} = 1 - \frac{1}{87}$
$\frac{87}{88} = \frac{88-1}{88} = 1 - \frac{1}{88}$
Сравним вычитаемые дроби $\frac{1}{87}$ и $\frac{1}{88}$. Так как знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй ($87 < 88$), то первая дробь больше второй: $\frac{1}{87} > \frac{1}{88}$.
Поскольку из единицы в первом случае вычитается большее число, то результат будет меньше.
Следовательно, $1 - \frac{1}{87} < 1 - \frac{1}{88}$, то есть $\frac{86}{87} < \frac{87}{88}$.
Ответ: $\frac{86}{87} < \frac{87}{88}$.

2) Чтобы сравнить дроби $\frac{113}{112}$ и $\frac{112}{111}$, представим их в виде суммы с единицей.
$\frac{113}{112} = \frac{112+1}{112} = 1 + \frac{1}{112}$
$\frac{112}{111} = \frac{111+1}{111} = 1 + \frac{1}{111}$
Сравним слагаемые дроби $\frac{1}{112}$ и $\frac{1}{111}$. Так как знаменатель первой дроби больше знаменателя второй ($112 > 111$), то первая дробь меньше второй: $\frac{1}{112} < \frac{1}{111}$.
Поскольку к единице в первом случае прибавляется меньшее число, то результат будет меньше.
Следовательно, $1 + \frac{1}{112} < 1 + \frac{1}{111}$, то есть $\frac{113}{112} < \frac{112}{111}$.
Ответ: $\frac{113}{112} < \frac{112}{111}$.

3) Сравним числа $\sqrt{23} - \sqrt{11}$ и $\sqrt{22} - \sqrt{10}$.
Оба выражения положительны, так как $\sqrt{23} > \sqrt{11}$ и $\sqrt{22} > \sqrt{10}$.
Предположим, что $\sqrt{23} - \sqrt{11} > \sqrt{22} - \sqrt{10}$.
Перенесем слагаемые так, чтобы в обеих частях были суммы: $\sqrt{23} + \sqrt{10} > \sqrt{22} + \sqrt{11}$.
Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{23} + \sqrt{10})^2 > (\sqrt{22} + \sqrt{11})^2$
$23 + 2\sqrt{23 \cdot 10} + 10 > 22 + 2\sqrt{22 \cdot 11} + 11$
$33 + 2\sqrt{230} > 33 + 2\sqrt{242}$
$2\sqrt{230} > 2\sqrt{242}$
$\sqrt{230} > \sqrt{242}$
$230 > 242$.
Полученное неравенство неверно. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и правильным является противоположный знак.
Ответ: $\sqrt{23} - \sqrt{11} < \sqrt{22} - \sqrt{10}$.

4) Сравним числа $\sqrt{38} + \sqrt{20}$ и $\sqrt{37} + \sqrt{21}$.
Обе части положительны. Предположим, что $\sqrt{38} + \sqrt{20} > \sqrt{37} + \sqrt{21}$.
Возведем обе части предполагаемого неравенства в квадрат:
$(\sqrt{38} + \sqrt{20})^2 > (\sqrt{37} + \sqrt{21})^2$
$38 + 2\sqrt{38 \cdot 20} + 20 > 37 + 2\sqrt{37 \cdot 21} + 21$
$58 + 2\sqrt{760} > 58 + 2\sqrt{777}$
$2\sqrt{760} > 2\sqrt{777}$
$\sqrt{760} > \sqrt{777}$
$760 > 777$.
Полученное неравенство неверно. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и правильным является противоположный знак.
Ответ: $\sqrt{38} + \sqrt{20} < \sqrt{37} + \sqrt{21}$.

5) Сравним выражения $b+5$ и $2b+3$. Для этого рассмотрим их разность:
$(b+5) - (2b+3) = b+5-2b-3 = -b+2$.
Результат сравнения зависит от знака этой разности, который, в свою очередь, зависит от значения $b$.
1. Если $-b+2 > 0$, то есть $b < 2$, то $b+5 > 2b+3$.
2. Если $-b+2 < 0$, то есть $b > 2$, то $b+5 < 2b+3$.
3. Если $-b+2 = 0$, то есть $b = 2$, то $b+5 = 2b+3$.
Ответ: если $b < 2$, то $b+5 > 2b+3$; если $b > 2$, то $b+5 < 2b+3$; если $b = 2$, то $b+5 = 2b+3$.

6) Сравним выражения $a^4+1$ и $2a|a|$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $a$.
Случай 1: $a \ge 0$. В этом случае $|a|=a$, и второе выражение принимает вид $2a \cdot a = 2a^2$.
Сравним $a^4+1$ и $2a^2$. Рассмотрим их разность:
$a^4+1 - 2a^2 = a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2-1)^2$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(a^2-1)^2 \ge 0$.
Следовательно, $a^4+1 \ge 2a^2$. Равенство достигается, когда $a^2-1=0$, то есть при $a=1$ (так как $a \ge 0$).
Случай 2: $a < 0$. В этом случае $|a|=-a$, и второе выражение принимает вид $2a(-a) = -2a^2$.
Сравним $a^4+1$ и $-2a^2$.
При любом $a$, $a^4 \ge 0$, значит $a^4+1 \ge 1$.
При $a < 0$, $a^2 > 0$, значит $-2a^2 < 0$.
Таким образом, при $a < 0$ выражение $a^4+1$ всегда положительно, а $-2a^2$ всегда отрицательно.
Следовательно, $a^4+1 > -2a^2$.
Объединяя результаты:
- если $a=1$, то $a^4+1 = 2$ и $2a|a| = 2$, то есть выражения равны.
- если $a \ne 1$, то $a^4+1 > 2a|a|$.
Ответ: если $a=1$, то $a^4+1 = 2a|a|$; если $a \ne 1$, то $a^4+1 > 2a|a|$.