Номер 6.51, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.51. Решите неравенства:

1) $x^2-3x-4>0;$

2) $x^2-5x-6 \le 0;$

3) $x^2 \ge 16;$

4) $|x^2-7x+5| \ge 5;$

5) $|x^2-3x| \le x;$

6) $|x^2-3x|>x.$

1) Чтобы решить квадратное неравенство $x^2-3x-4>0$, сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2-3x-4=0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=3$, а произведение $x_1 \cdot x_2=-4$. Отсюда корни равны $x_1=4$ и $x_2=-1$. Графиком функции $y=x^2-3x-4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $y>0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x<-1$ или $x>4$.Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2) Для решения неравенства $x^2-5x-6 \le 0$, найдем корни уравнения $x^2-5x-6=0$. Используя теорему Виета, имеем $x_1+x_2=5$ и $x_1 \cdot x_2=-6$. Корни равны $x_1=6$ и $x_2=-1$. Графиком функции $y=x^2-5x-6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями, включая сами корни. Следовательно, решением является отрезок $[-1; 6]$.Ответ: $x \in [-1; 6]$.

3) Решим неравенство $x^2 \ge 16$. Перенесем 16 в левую часть, чтобы получить $x^2-16 \ge 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-4)(x+4) \ge 0$. Корнями уравнения $(x-4)(x+4)=0$ являются $x_1=4$ и $x_2=-4$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ не входящих в интервал между корнями, включая сами корни. Таким образом, $x \le -4$ или $x \ge 4$.Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

4) Неравенство с модулем $|x^2-7x+5| \ge 5$ равносильно совокупности двух неравенств: $x^2-7x+5 \ge 5$ или $x^2-7x+5 \le -5$.Решим первое неравенство: $x^2-7x \ge 0$, что эквивалентно $x(x-7) \ge 0$. Корни $x=0$ и $x=7$. Решение этой части: $x \in (-\infty; 0] \cup [7; +\infty)$.Решим второе неравенство: $x^2-7x+10 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2-7x+10=0$. По теореме Виета, $x_1+x_2=7$ и $x_1 \cdot x_2=10$, откуда $x_1=2$, $x_2=5$. Решение этой части: $x \in [2; 5]$.Объединяя решения обоих неравенств, получаем итоговый ответ.Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; 5] \cup [7; +\infty)$.

5) Для решения неравенства $|x^2-3x| \le x$ заметим, что правая часть не может быть отрицательной, так как модуль всегда неотрицателен. Следовательно, должно выполняться условие $x \ge 0$. При этом условии неравенство равносильно двойному неравенству $-x \le x^2-3x \le x$, которое можно представить в виде системы двух неравенств:
1) $x^2-3x \ge -x \implies x^2-2x \ge 0 \implies x(x-2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.
2) $x^2-3x \le x \implies x^2-4x \le 0 \implies x(x-4) \le 0$. Решением является $x \in [0; 4]$.
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств и начального условия $x \ge 0$. Общим решением будет множество, удовлетворяющее всем трем условиям: $(\left(-\infty; 0] \cup [2; +\infty\right) \cap [0; 4]) \cap [0; +\infty)$, что дает нам точку $x=0$ и отрезок $[2; 4]$.Ответ: $x \in \{0\} \cup [2; 4]$.

6) Решим неравенство $|x^2-3x| > x$. Это неравенство является строгим и противоположным по знаку неравенству $|x^2-3x| \le x$ из предыдущего пункта. Решением неравенства $|x^2-3x| \le x$ является множество $\{0\} \cup [2; 4]$. Следовательно, решением неравенства $|x^2-3x| > x$ будет дополнение этого множества до всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Дополнением множества $\{0\} \cup [2; 4]$ является объединение интервалов $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(4; +\infty)$.Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (4; +\infty)$.