Номер 6.49, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.49. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -3 < 2x - 3 < -1, \\ 1 - 4x < 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 0 < 1 - 3x < 1, \\ 3 - 4x < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 3 \le 0, \\ \frac{2x - 5}{x - 2} \ge 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x - 2 \le 5x - 8, \\ \frac{2x - 1}{2 - x} < 4. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} -3 < 2x - 3 < -1, \\ 1 - 4x < 0; \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $-3 < 2x - 3 < -1$.

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-3 + 3 < 2x - 3 + 3 < -1 + 3$

$0 < 2x < 2$

Разделим все части на 2:

$0 < x < 1$

Решение первого неравенства: $x \in (0; 1)$.

Теперь решим второе неравенство: $1 - 4x < 0$.

Перенесем 1 в правую часть:

$-4x < -1$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-1}{-4}$

$x > \frac{1}{4}$

Решение второго неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (0; 1)$ и $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$. Изобразим решения на числовой оси:

Пересечением (область с двойной штриховкой) является интервал $(\frac{1}{4}; 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.

2)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0 < 1 - 3x < 1, \\ 3 - 4x < 2; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $0 < 1 - 3x < 1$.

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$0 - 1 < 1 - 3x - 1 < 1 - 1$

$-1 < -3x < 0$

Разделим все части на -3 и сменим знаки неравенства:

$\frac{-1}{-3} > x > \frac{0}{-3}$

$\frac{1}{3} > x > 0$, или $0 < x < \frac{1}{3}$

Решение первого неравенства: $x \in (0; \frac{1}{3})$.

Решим второе неравенство: $3 - 4x < 2$.

Вычтем 3 из обеих частей:

$-4x < 2 - 3$

$-4x < -1$

Разделим на -4 и сменим знак неравенства:

$x > \frac{-1}{-4}$

$x > \frac{1}{4}$

Решение второго неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений $x \in (0; \frac{1}{3})$ и $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$. Так как $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ и $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, то $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.

Пересечением является интервал $(\frac{1}{4}; \frac{1}{3})$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; \frac{1}{3})$.

3)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - 3 \le 0, \\ \frac{2x - 5}{x - 2} \ge 4; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2x - 3 \le 0$.

$2x \le 3$

$x \le \frac{3}{2}$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}]$.

Решим второе неравенство: $\frac{2x - 5}{x - 2} \ge 4$.

Перенесем 4 в левую часть:

$\frac{2x - 5}{x - 2} - 4 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x - 5 - 4(x - 2)}{x - 2} \ge 0$

$\frac{2x - 5 - 4x + 8}{x - 2} \ge 0$

$\frac{-2x + 3}{x - 2} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $-2x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.

Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=\frac{3}{2}$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x=2$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Выбираем интервал со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.

Решение второго неравенства: $x \in [\frac{3}{2}; 2)$.

Найдем пересечение решений $x \in (-\infty; \frac{3}{2}]$ и $x \in [\frac{3}{2}; 2)$.

Единственная общая точка для этих двух множеств — это $x = \frac{3}{2}$.

Ответ: $x = \frac{3}{2}$.

4)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 2 \le 5x - 8, \\ \frac{2x - 1}{2 - x} < 4; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $3x - 2 \le 5x - 8$.

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$8 - 2 \le 5x - 3x$

$6 \le 2x$

$3 \le x$, или $x \ge 3$

Решение первого неравенства: $x \in [3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{2x - 1}{2 - x} < 4$.

$\frac{2x - 1}{2 - x} - 4 < 0$

$\frac{2x - 1 - 4(2 - x)}{2 - x} < 0$

$\frac{2x - 1 - 8 + 4x}{2 - x} < 0$

$\frac{6x - 9}{2 - x} < 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $6x - 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Нуль знаменателя: $2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$.

Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.

Выбираем интервалы со знаком "-", так как неравенство < 0.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений $x \in [3; +\infty)$ и $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (2; +\infty)$.

Пересечением является интервал $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.