Страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.45. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше его полупериметра.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин его сторон: $P = a + b + c$.

Полупериметр $p$ — это половина периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{a + b + c}{2}$.

Требуется доказать, что каждая сторона треугольника меньше его полупериметра, то есть $a < p$, $b < p$ и $c < p$.

Воспользуемся неравенством треугольника, которое утверждает, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Запишем это неравенство для каждой из сторон:

$a < b + c$

$b < a + c$

$c < a + b$

Докажем утверждение для стороны $a$, используя неравенство $a < b + c$. Прибавим к обеим его частям сторону $a$:

$a + a < a + b + c$

$2a < a + b + c$

Теперь разделим обе части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$a < \frac{a + b + c}{2}$

Поскольку правая часть этого выражения является определением полупериметра $p$, мы доказали, что $a < p$.

Аналогично, исходя из неравенств $b < a + c$ и $c < a + b$, можно доказать, что $b < p$ и $c < p$.

Таким образом, каждая сторона треугольника меньше его полупериметра, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

6.46. Сравните числа:

1) $\frac{86}{87}$ и $\frac{87}{88}$;

2) $\frac{113}{112}$ и $\frac{112}{111}$;

3) $\sqrt{23} - \sqrt{11}$ и $\sqrt{22} - \sqrt{10}$;

4) $\sqrt{38} + \sqrt{20}$ и $\sqrt{37} + \sqrt{21}$;

5) $b+5$ и $2b+3$;

6) $a^4+1$ и $2a|a|$.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{86}{87}$ и $\frac{87}{88}$, представим их в виде разности с единицей.
$\frac{86}{87} = \frac{87-1}{87} = 1 - \frac{1}{87}$
$\frac{87}{88} = \frac{88-1}{88} = 1 - \frac{1}{88}$
Сравним вычитаемые дроби $\frac{1}{87}$ и $\frac{1}{88}$. Так как знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй ($87 < 88$), то первая дробь больше второй: $\frac{1}{87} > \frac{1}{88}$.
Поскольку из единицы в первом случае вычитается большее число, то результат будет меньше.
Следовательно, $1 - \frac{1}{87} < 1 - \frac{1}{88}$, то есть $\frac{86}{87} < \frac{87}{88}$.
Ответ: $\frac{86}{87} < \frac{87}{88}$.

2) Чтобы сравнить дроби $\frac{113}{112}$ и $\frac{112}{111}$, представим их в виде суммы с единицей.
$\frac{113}{112} = \frac{112+1}{112} = 1 + \frac{1}{112}$
$\frac{112}{111} = \frac{111+1}{111} = 1 + \frac{1}{111}$
Сравним слагаемые дроби $\frac{1}{112}$ и $\frac{1}{111}$. Так как знаменатель первой дроби больше знаменателя второй ($112 > 111$), то первая дробь меньше второй: $\frac{1}{112} < \frac{1}{111}$.
Поскольку к единице в первом случае прибавляется меньшее число, то результат будет меньше.
Следовательно, $1 + \frac{1}{112} < 1 + \frac{1}{111}$, то есть $\frac{113}{112} < \frac{112}{111}$.
Ответ: $\frac{113}{112} < \frac{112}{111}$.

3) Сравним числа $\sqrt{23} - \sqrt{11}$ и $\sqrt{22} - \sqrt{10}$.
Оба выражения положительны, так как $\sqrt{23} > \sqrt{11}$ и $\sqrt{22} > \sqrt{10}$.
Предположим, что $\sqrt{23} - \sqrt{11} > \sqrt{22} - \sqrt{10}$.
Перенесем слагаемые так, чтобы в обеих частях были суммы: $\sqrt{23} + \sqrt{10} > \sqrt{22} + \sqrt{11}$.
Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{23} + \sqrt{10})^2 > (\sqrt{22} + \sqrt{11})^2$
$23 + 2\sqrt{23 \cdot 10} + 10 > 22 + 2\sqrt{22 \cdot 11} + 11$
$33 + 2\sqrt{230} > 33 + 2\sqrt{242}$
$2\sqrt{230} > 2\sqrt{242}$
$\sqrt{230} > \sqrt{242}$
$230 > 242$.
Полученное неравенство неверно. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и правильным является противоположный знак.
Ответ: $\sqrt{23} - \sqrt{11} < \sqrt{22} - \sqrt{10}$.

4) Сравним числа $\sqrt{38} + \sqrt{20}$ и $\sqrt{37} + \sqrt{21}$.
Обе части положительны. Предположим, что $\sqrt{38} + \sqrt{20} > \sqrt{37} + \sqrt{21}$.
Возведем обе части предполагаемого неравенства в квадрат:
$(\sqrt{38} + \sqrt{20})^2 > (\sqrt{37} + \sqrt{21})^2$
$38 + 2\sqrt{38 \cdot 20} + 20 > 37 + 2\sqrt{37 \cdot 21} + 21$
$58 + 2\sqrt{760} > 58 + 2\sqrt{777}$
$2\sqrt{760} > 2\sqrt{777}$
$\sqrt{760} > \sqrt{777}$
$760 > 777$.
Полученное неравенство неверно. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и правильным является противоположный знак.
Ответ: $\sqrt{38} + \sqrt{20} < \sqrt{37} + \sqrt{21}$.

5) Сравним выражения $b+5$ и $2b+3$. Для этого рассмотрим их разность:
$(b+5) - (2b+3) = b+5-2b-3 = -b+2$.
Результат сравнения зависит от знака этой разности, который, в свою очередь, зависит от значения $b$.
1. Если $-b+2 > 0$, то есть $b < 2$, то $b+5 > 2b+3$.
2. Если $-b+2 < 0$, то есть $b > 2$, то $b+5 < 2b+3$.
3. Если $-b+2 = 0$, то есть $b = 2$, то $b+5 = 2b+3$.
Ответ: если $b < 2$, то $b+5 > 2b+3$; если $b > 2$, то $b+5 < 2b+3$; если $b = 2$, то $b+5 = 2b+3$.

6) Сравним выражения $a^4+1$ и $2a|a|$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $a$.
Случай 1: $a \ge 0$. В этом случае $|a|=a$, и второе выражение принимает вид $2a \cdot a = 2a^2$.
Сравним $a^4+1$ и $2a^2$. Рассмотрим их разность:
$a^4+1 - 2a^2 = a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2-1)^2$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(a^2-1)^2 \ge 0$.
Следовательно, $a^4+1 \ge 2a^2$. Равенство достигается, когда $a^2-1=0$, то есть при $a=1$ (так как $a \ge 0$).
Случай 2: $a < 0$. В этом случае $|a|=-a$, и второе выражение принимает вид $2a(-a) = -2a^2$.
Сравним $a^4+1$ и $-2a^2$.
При любом $a$, $a^4 \ge 0$, значит $a^4+1 \ge 1$.
При $a < 0$, $a^2 > 0$, значит $-2a^2 < 0$.
Таким образом, при $a < 0$ выражение $a^4+1$ всегда положительно, а $-2a^2$ всегда отрицательно.
Следовательно, $a^4+1 > -2a^2$.
Объединяя результаты:
- если $a=1$, то $a^4+1 = 2$ и $2a|a| = 2$, то есть выражения равны.
- если $a \ne 1$, то $a^4+1 > 2a|a|$.
Ответ: если $a=1$, то $a^4+1 = 2a|a|$; если $a \ne 1$, то $a^4+1 > 2a|a|$.

6.47. Сравните время, за которое моторная лодка проплывает 20 км пути по озеру, и время, за которое она проплывает 10 км пути против течения и 10 км пути по течению реки.

Для решения этой задачи необходимо сравнить два промежутка времени. Обозначим собственную скорость моторной лодки (ее скорость в стоячей воде, например, в озере) как $v_л$, а скорость течения реки — как $v_т$. Предполагается, что для движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $v_л > v_т > 0$.

1. Найдем время движения по озеру.

Лодка должна проплыть расстояние $S_1 = 20$ км. Поскольку в озере нет течения, ее скорость будет равна собственной скорости $v_л$. Время, затраченное на этот путь, составляет:

$t_{озеро} = \frac{S_1}{v_л} = \frac{20}{v_л}$

2. Найдем общее время движения по реке.

Этот путь состоит из двух участков: 10 км против течения и 10 км по течению.

Скорость лодки при движении по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_л + v_т$.

Время, затраченное на путь по течению: $t_{по} = \frac{10}{v_л + v_т}$.

Скорость лодки при движении против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_л - v_т$.

Время, затраченное на путь против течения: $t_{против} = \frac{10}{v_л - v_т}$.

Общее время движения по реке — это сумма времен движения по течению и против течения:

$t_{река} = t_{по} + t_{против} = \frac{10}{v_л + v_т} + \frac{10}{v_л - v_т}$

3. Сравним полученные времена.

Упростим выражение для времени движения по реке, приведя дроби к общему знаменателю $(v_л + v_т)(v_л - v_т) = v_л^2 - v_т^2$:

$t_{река} = \frac{10(v_л - v_т) + 10(v_л + v_т)}{(v_л + v_т)(v_л - v_т)} = \frac{10v_л - 10v_т + 10v_л + 10v_т}{v_л^2 - v_т^2} = \frac{20v_л}{v_л^2 - v_т^2}$

Теперь нам нужно сравнить $t_{озеро} = \frac{20}{v_л}$ и $t_{река} = \frac{20v_л}{v_л^2 - v_т^2}$.

Для удобства сравнения приведем оба выражения к одинаковому числителю. Умножим числитель и знаменатель дроби для $t_{озеро}$ на $v_л$:

$t_{озеро} = \frac{20 \cdot v_л}{v_л \cdot v_л} = \frac{20v_л}{v_л^2}$

Теперь мы сравниваем две дроби с одинаковым положительным числителем ($20v_л$):

$t_{озеро} = \frac{20v_л}{v_л^2}$ и $t_{река} = \frac{20v_л}{v_л^2 - v_т^2}$

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели этих дробей: $v_л^2$ и $v_л^2 - v_т^2$.

Поскольку скорость течения $v_т$ — положительная величина, то $v_т^2 > 0$. Следовательно:

$v_л^2 - v_т^2 < v_л^2$

Так как знаменатель дроби для $t_{река}$ меньше знаменателя дроби для $t_{озеро}$, то сама дробь для $t_{река}$ будет больше:

$\frac{20v_л}{v_л^2 - v_т^2} > \frac{20v_л}{v_л^2}$

Таким образом, $t_{река} > t_{озеро}$.

Это означает, что на путь по реке (10 км против течения и 10 км по течению) лодка затратит больше времени, чем на 20 км по озеру. Интуитивно это можно объяснить тем, что выигрыш во времени при движении по течению меньше, чем проигрыш во времени при движении против течения на такое же расстояние.

Ответ: время, за которое моторная лодка проплывает 10 км пути против течения и 10 км пути по течению реки, больше, чем время, за которое она проплывает 20 км пути по озеру.

6.48. Решите неравенства:

1) $17-x>10-6x;$

2) $30+5x \ge 18-17x;$

3) $6x-34 \ge x+1;$

4) $3u-1<6u-1;$

5) $5x^2-5x(x+4) \ge 100;$

6) $p(p-1)-p^2>12-6p.$

1) $17-x>10-6x$

Для решения неравенства перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые (числа) - в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$6x-x>10-17$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$5x>-7$

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не меняется.

$x>-\frac{7}{5}$

Преобразуем дробь в десятичную:

$x>-1,4$

Решением является интервал от -1,4 до плюс бесконечности, не включая -1,4.

Ответ: $x \in (-1,4; +\infty)$

2) $30+5x \ge 18-17x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а свободные члены - в правую:

$5x+17x \ge 18-30$

Приведем подобные слагаемые:

$22x \ge -12$

Разделим обе части неравенства на 22. Знак неравенства не меняется.

$x \ge -\frac{12}{22}$

Сократим дробь на 2:

$x \ge -\frac{6}{11}$

Решением является числовой промежуток от -6/11 до плюс бесконечности, включая -6/11.

Ответ: $x \in [-\frac{6}{11}; +\infty)$

3) $6x-34 \ge x+1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа - в правую:

$6x-x \ge 1+34$

Приведем подобные слагаемые:

$5x \ge 35$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x \ge 7$

Решением является числовой промежуток от 7 до плюс бесконечности, включая 7.

Ответ: $x \in [7; +\infty)$

4) $3u-1<6u-1$

Перенесем слагаемые с переменной $u$ в правую часть, а числа - в левую, чтобы коэффициент при $u$ был положительным.

$-1+1<6u-3u$

Приведем подобные слагаемые:

$0<3u$

Разделим обе части неравенства на 3:

$0

Это неравенство можно записать как:

$u>0$

Решением является интервал от 0 до плюс бесконечности, не включая 0.

Ответ: $u \in (0; +\infty)$

5) $5x^2-5x(x+4) \ge 100$

Раскроем скобки в левой части неравенства, умножив $-5x$ на каждый член в скобках:

$5x^2-5x \cdot x - 5x \cdot 4 \ge 100$

$5x^2-5x^2-20x \ge 100$

Приведем подобные слагаемые:

$-20x \ge 100$

Разделим обе части неравенства на -20. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$).

$x \le \frac{100}{-20}$

$x \le -5$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до -5, включая -5.

Ответ: $x \in (-\infty; -5]$

6) $p(p-1)-p^2>12-6p$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$p^2-p-p^2>12-6p$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-p>12-6p$

Перенесем слагаемые с переменной $p$ в левую часть, а числа оставим в правой:

$6p-p>12$

Приведем подобные слагаемые:

$5p>12$

Разделим обе части неравенства на 5:

$p>\frac{12}{5}$

Преобразуем дробь в десятичную:

$p>2,4$

Решением является интервал от 2,4 до плюс бесконечности, не включая 2,4.

Ответ: $p \in (2,4; +\infty)$

6.49. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -3 < 2x - 3 < -1, \\ 1 - 4x < 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 0 < 1 - 3x < 1, \\ 3 - 4x < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 3 \le 0, \\ \frac{2x - 5}{x - 2} \ge 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x - 2 \le 5x - 8, \\ \frac{2x - 1}{2 - x} < 4. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} -3 < 2x - 3 < -1, \\ 1 - 4x < 0; \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $-3 < 2x - 3 < -1$.

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-3 + 3 < 2x - 3 + 3 < -1 + 3$

$0 < 2x < 2$

Разделим все части на 2:

$0 < x < 1$

Решение первого неравенства: $x \in (0; 1)$.

Теперь решим второе неравенство: $1 - 4x < 0$.

Перенесем 1 в правую часть:

$-4x < -1$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-1}{-4}$

$x > \frac{1}{4}$

Решение второго неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (0; 1)$ и $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$. Изобразим решения на числовой оси:

Пересечением (область с двойной штриховкой) является интервал $(\frac{1}{4}; 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.

2)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0 < 1 - 3x < 1, \\ 3 - 4x < 2; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $0 < 1 - 3x < 1$.

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$0 - 1 < 1 - 3x - 1 < 1 - 1$

$-1 < -3x < 0$

Разделим все части на -3 и сменим знаки неравенства:

$\frac{-1}{-3} > x > \frac{0}{-3}$

$\frac{1}{3} > x > 0$, или $0 < x < \frac{1}{3}$

Решение первого неравенства: $x \in (0; \frac{1}{3})$.

Решим второе неравенство: $3 - 4x < 2$.

Вычтем 3 из обеих частей:

$-4x < 2 - 3$

$-4x < -1$

Разделим на -4 и сменим знак неравенства:

$x > \frac{-1}{-4}$

$x > \frac{1}{4}$

Решение второго неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений $x \in (0; \frac{1}{3})$ и $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$. Так как $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ и $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, то $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.

Пересечением является интервал $(\frac{1}{4}; \frac{1}{3})$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; \frac{1}{3})$.

3)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - 3 \le 0, \\ \frac{2x - 5}{x - 2} \ge 4; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2x - 3 \le 0$.

$2x \le 3$

$x \le \frac{3}{2}$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}]$.

Решим второе неравенство: $\frac{2x - 5}{x - 2} \ge 4$.

Перенесем 4 в левую часть:

$\frac{2x - 5}{x - 2} - 4 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x - 5 - 4(x - 2)}{x - 2} \ge 0$

$\frac{2x - 5 - 4x + 8}{x - 2} \ge 0$

$\frac{-2x + 3}{x - 2} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $-2x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.

Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=\frac{3}{2}$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x=2$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Выбираем интервал со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.

Решение второго неравенства: $x \in [\frac{3}{2}; 2)$.

Найдем пересечение решений $x \in (-\infty; \frac{3}{2}]$ и $x \in [\frac{3}{2}; 2)$.

Единственная общая точка для этих двух множеств — это $x = \frac{3}{2}$.

Ответ: $x = \frac{3}{2}$.

4)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 2 \le 5x - 8, \\ \frac{2x - 1}{2 - x} < 4; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $3x - 2 \le 5x - 8$.

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$8 - 2 \le 5x - 3x$

$6 \le 2x$

$3 \le x$, или $x \ge 3$

Решение первого неравенства: $x \in [3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{2x - 1}{2 - x} < 4$.

$\frac{2x - 1}{2 - x} - 4 < 0$

$\frac{2x - 1 - 4(2 - x)}{2 - x} < 0$

$\frac{2x - 1 - 8 + 4x}{2 - x} < 0$

$\frac{6x - 9}{2 - x} < 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $6x - 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Нуль знаменателя: $2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$.

Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.

Выбираем интервалы со знаком "-", так как неравенство < 0.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений $x \in [3; +\infty)$ и $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (2; +\infty)$.

Пересечением является интервал $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

6.50. Решите неравенства методом интервалов:

1) $(2x+7)(3x-4)(x+5)>0;$

2) $(x-6)(0.5x+4)(5x+10)<0;$

3) $\frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+3}>-3;$

4) $\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > 3;$

5) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2};$

6) $\frac{x-2}{x+2} \ge \frac{2x-3}{4x-1}.$

1) Решим неравенство $(2x+7)(3x-4)(x+5)>0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули функции $f(x) = (2x+7)(3x-4)(x+5)$.

$2x+7=0 \implies x_1 = -3.5$

$3x-4=0 \implies x_2 = 4/3$

$x+5=0 \implies x_3 = -5$

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: $-5$, $-3.5$, $4/3$. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Эти точки разбивают ось на четыре интервала.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(4/3, +\infty)$, например $x=2$: $(2 \cdot 2+7)(3 \cdot 2-4)(2+5) = 11 \cdot 2 \cdot 7 > 0$. Знак «+».

Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: $(-\infty, -5)$ — «-»; $(-5, -3.5)$ — «+»; $(-3.5, 4/3)$ — «-»; $(4/3, +\infty)$ — «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак «+».

Это интервалы $(-5, -3.5)$ и $(4/3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5, -3.5) \cup (4/3, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x-6)(0.5x+4)(5x+10)<0$.

Найдем нули выражения:

$x-6=0 \implies x_1 = 6$

$0.5x+4=0 \implies 0.5x = -4 \implies x_2 = -8$

$5x+10=0 \implies 5x = -10 \implies x_3 = -2$

Расположим точки на числовой оси: $-8$, $-2$, $6$. Точки выколотые, так как неравенство строгое.

Определим знаки. В интервале $(6, +\infty)$ при $x=10$: $(10-6)(0.5\cdot10+4)(5\cdot10+10) = 4 \cdot 9 \cdot 60 > 0$. Знак «+».

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть со знаком «-».

Это интервалы $(-\infty, -8)$ и $(-2, 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (-2, 6)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+3} > -3$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+3} + 3 > 0$

$\frac{x^2-2x+3 + 3(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} > 0$

$\frac{x^2-2x+3 + 3x^2-12x+9}{x^2-4x+3} > 0$

$\frac{4x^2-14x+12}{x^2-4x+3} > 0$

Вынесем 2 за скобки в числителе: $\frac{2(2x^2-7x+6)}{x^2-4x+3} > 0$.

Найдем корни числителя и знаменателя. Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2-4x+3 \neq 0$.

Корни числителя $2x^2-7x+6=0$: $D = 49-48=1$, $x_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{4}$. $x_1=2$, $x_2=1.5$.

Корни знаменателя $x^2-4x+3=0$: по теореме Виета $x_3=1$, $x_4=3$.

Неравенство можно переписать в виде: $\frac{2(x-1.5)(x-2)}{(x-1)(x-3)} > 0$.

Отметим точки $1, 1.5, 2, 3$ на числовой оси. Все точки выколотые.

Определим знаки. В интервале $(3, +\infty)$ при $x=4$: $\frac{2(4-1.5)(4-2)}{(4-1)(4-3)} > 0$. Знак «+». Знаки чередуются.

Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1.5, 2) \cup (3, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > 3$.

Перенесем все в левую часть: $\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 3 > 0$.

ОДЗ: $x \neq 1, x \neq -1$.

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:

$\frac{2(x+1) - (x-1) - 3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0$

$\frac{2x+2 - x+1 - 3(x^2-1)}{(x-1)(x+1)} > 0$

$\frac{x+3 - 3x^2+3}{(x-1)(x+1)} > 0 \implies \frac{-3x^2+x+6}{(x-1)(x+1)} > 0$.

Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{3x^2-x-6}{(x-1)(x+1)} < 0$.

Найдем корни числителя $3x^2-x-6=0$: $D=1-4(3)(-6)=73$. $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6}$.

Корни знаменателя: $x_3=1$, $x_4=-1$.

Расположим точки на оси. $\sqrt{73} \approx 8.54$, поэтому $\frac{1-\sqrt{73}}{6} \approx -1.26$, $\frac{1+\sqrt{73}}{6} \approx 1.59$.

Точки в порядке возрастания: $\frac{1-\sqrt{73}}{6}, -1, 1, \frac{1+\sqrt{73}}{6}$. Все точки выколотые.

В крайнем правом интервале $(\frac{1+\sqrt{73}}{6}, +\infty)$ выражение $\frac{3x^2-x-6}{(x-1)(x+1)}$ положительно (старшие коэффициенты положительны). Знаки чередуются.

Выбираем интервалы со знаком «-», так как решаем неравенство $< 0$.

Ответ: $x \in (\frac{1-\sqrt{73}}{6}, -1) \cup (1, \frac{1+\sqrt{73}}{6})$.

5) Решим неравенство $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2}$.

Перенесем все в левую часть: $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} - \frac{3}{x+2} > 0$.

ОДЗ: $x \neq -1, x \neq -2, x \neq -3$.

Общий знаменатель: $(x+1)(x+3)(x+2)$.

$\frac{(x+3)(x+2) + 2(x+1)(x+2) - 3(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0$

$\frac{(x^2+5x+6) + (2x^2+6x+4) - (3x^2+12x+9)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0$

$\frac{x^2+5x+6 + 2x^2+6x+4 - 3x^2-12x-9}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0$

$\frac{-x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0$.

Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{x-1}{(x+1)(x+2)(x+3)} < 0$.

Корни числителя и знаменателя: $1, -1, -2, -3$. Расположим их на оси: $-3, -2, -1, 1$. Все точки выколотые.

В интервале $(1, +\infty)$ при $x=2$ выражение $\frac{2-1}{(2+1)(2+2)(2+3)} > 0$. Знак «+». Далее знаки чередуются.

Выбираем интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-1, 1)$.

6) Решим неравенство $\frac{x-2}{x+2} \ge \frac{2x-3}{4x-1}$.

$\frac{x-2}{x+2} - \frac{2x-3}{4x-1} \ge 0$.

ОДЗ: $x \neq -2, x \neq 1/4$.

Общий знаменатель: $(x+2)(4x-1)$.

$\frac{(x-2)(4x-1) - (2x-3)(x+2)}{(x+2)(4x-1)} \ge 0$

$\frac{(4x^2-x-8x+2) - (2x^2+4x-3x-6)}{(x+2)(4x-1)} \ge 0$

$\frac{4x^2-9x+2 - (2x^2+x-6)}{(x+2)(4x-1)} \ge 0$

$\frac{2x^2-10x+8}{(x+2)(4x-1)} \ge 0 \implies \frac{2(x^2-5x+4)}{(x+2)(4x-1)} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $x^2-5x+4=0 \implies x_1=1, x_2=4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{2(x-1)(x-4)}{(x+2)(4x-1)} \ge 0$.

Корни числителя: $1, 4$. Корни знаменателя: $-2, 1/4$.

Отметим точки на оси. Точки $1$ и $4$ — закрашенные (неравенство нестрогое), точки $-2$ и $1/4$ — выколотые (ОДЗ).

В интервале $(4, +\infty)$ при $x=5$: $\frac{2(5-1)(5-4)}{(5+2)(4 \cdot 5-1)} > 0$. Знак «+». Знаки чередуются.

Выбираем интервалы со знаком «+», включая закрашенные точки.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (1/4, 1] \cup [4, +\infty)$.

6.51. Решите неравенства:

1) $x^2-3x-4>0;$

2) $x^2-5x-6 \le 0;$

3) $x^2 \ge 16;$

4) $|x^2-7x+5| \ge 5;$

5) $|x^2-3x| \le x;$

6) $|x^2-3x|>x.$

1) Чтобы решить квадратное неравенство $x^2-3x-4>0$, сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2-3x-4=0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=3$, а произведение $x_1 \cdot x_2=-4$. Отсюда корни равны $x_1=4$ и $x_2=-1$. Графиком функции $y=x^2-3x-4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $y>0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x<-1$ или $x>4$.Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2) Для решения неравенства $x^2-5x-6 \le 0$, найдем корни уравнения $x^2-5x-6=0$. Используя теорему Виета, имеем $x_1+x_2=5$ и $x_1 \cdot x_2=-6$. Корни равны $x_1=6$ и $x_2=-1$. Графиком функции $y=x^2-5x-6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями, включая сами корни. Следовательно, решением является отрезок $[-1; 6]$.Ответ: $x \in [-1; 6]$.

3) Решим неравенство $x^2 \ge 16$. Перенесем 16 в левую часть, чтобы получить $x^2-16 \ge 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-4)(x+4) \ge 0$. Корнями уравнения $(x-4)(x+4)=0$ являются $x_1=4$ и $x_2=-4$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ не входящих в интервал между корнями, включая сами корни. Таким образом, $x \le -4$ или $x \ge 4$.Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

4) Неравенство с модулем $|x^2-7x+5| \ge 5$ равносильно совокупности двух неравенств: $x^2-7x+5 \ge 5$ или $x^2-7x+5 \le -5$.Решим первое неравенство: $x^2-7x \ge 0$, что эквивалентно $x(x-7) \ge 0$. Корни $x=0$ и $x=7$. Решение этой части: $x \in (-\infty; 0] \cup [7; +\infty)$.Решим второе неравенство: $x^2-7x+10 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2-7x+10=0$. По теореме Виета, $x_1+x_2=7$ и $x_1 \cdot x_2=10$, откуда $x_1=2$, $x_2=5$. Решение этой части: $x \in [2; 5]$.Объединяя решения обоих неравенств, получаем итоговый ответ.Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; 5] \cup [7; +\infty)$.

5) Для решения неравенства $|x^2-3x| \le x$ заметим, что правая часть не может быть отрицательной, так как модуль всегда неотрицателен. Следовательно, должно выполняться условие $x \ge 0$. При этом условии неравенство равносильно двойному неравенству $-x \le x^2-3x \le x$, которое можно представить в виде системы двух неравенств:
1) $x^2-3x \ge -x \implies x^2-2x \ge 0 \implies x(x-2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.
2) $x^2-3x \le x \implies x^2-4x \le 0 \implies x(x-4) \le 0$. Решением является $x \in [0; 4]$.
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств и начального условия $x \ge 0$. Общим решением будет множество, удовлетворяющее всем трем условиям: $(\left(-\infty; 0] \cup [2; +\infty\right) \cap [0; 4]) \cap [0; +\infty)$, что дает нам точку $x=0$ и отрезок $[2; 4]$.Ответ: $x \in \{0\} \cup [2; 4]$.

6) Решим неравенство $|x^2-3x| > x$. Это неравенство является строгим и противоположным по знаку неравенству $|x^2-3x| \le x$ из предыдущего пункта. Решением неравенства $|x^2-3x| \le x$ является множество $\{0\} \cup [2; 4]$. Следовательно, решением неравенства $|x^2-3x| > x$ будет дополнение этого множества до всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Дополнением множества $\{0\} \cup [2; 4]$ является объединение интервалов $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(4; +\infty)$.Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (4; +\infty)$.

6.52. При каких значениях $a$ неравенство $x^2-3ax+1>0$ верно для любого $x$?

Данное неравенство представляет собой квадратичную функцию относительно переменной $x$: $f(x) = x^2 - 3ax + 1$. Графиком этой функции является парабола.

Для того чтобы неравенство $x^2 - 3ax + 1 > 0$ было верно для любого значения $x$, необходимо, чтобы график функции $f(x)$ полностью располагался выше оси абсцисс (оси Ox). Это возможно при выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Коэффициент при $x^2$ равен 1, а $1 > 0$, так что это условие выполняется.

2. Парабола не должна иметь точек пересечения с осью Ox, то есть соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 3ax + 1 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ этого уравнения строго меньше нуля ($D < 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 3ax + 1$. Коэффициенты равны: $A=1$, $B=-3a$, $C=1$.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

Подставим значения коэффициентов:

$D = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9a^2 - 4$

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно параметра $a$:

$9a^2 - 4 < 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$9a^2 < 4$

Разделим обе части на 9:

$a^2 < \frac{4}{9}$

Это неравенство эквивалентно системе $|a| < \sqrt{\frac{4}{9}}$, что дает:

$|a| < \frac{2}{3}$

Раскрывая модуль, получаем двойное неравенство:

$-\frac{2}{3} < a < \frac{2}{3}$

Следовательно, при $a$, принадлежащем интервалу $(-\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$, исходное неравенство будет верно для любого значения $x$.

Ответ: $a \in (-\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.