Номер 6.50, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.50. Решите неравенства методом интервалов:

1) $(2x+7)(3x-4)(x+5)>0;$

2) $(x-6)(0.5x+4)(5x+10)<0;$

3) $\frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+3}>-3;$

4) $\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > 3;$

5) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2};$

6) $\frac{x-2}{x+2} \ge \frac{2x-3}{4x-1}.$

1) Решим неравенство $(2x+7)(3x-4)(x+5)>0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули функции $f(x) = (2x+7)(3x-4)(x+5)$.

$2x+7=0 \implies x_1 = -3.5$

$3x-4=0 \implies x_2 = 4/3$

$x+5=0 \implies x_3 = -5$

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: $-5$, $-3.5$, $4/3$. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Эти точки разбивают ось на четыре интервала.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(4/3, +\infty)$, например $x=2$: $(2 \cdot 2+7)(3 \cdot 2-4)(2+5) = 11 \cdot 2 \cdot 7 > 0$. Знак «+».

Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: $(-\infty, -5)$ — «-»; $(-5, -3.5)$ — «+»; $(-3.5, 4/3)$ — «-»; $(4/3, +\infty)$ — «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак «+».

Это интервалы $(-5, -3.5)$ и $(4/3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5, -3.5) \cup (4/3, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x-6)(0.5x+4)(5x+10)<0$.

Найдем нули выражения:

$x-6=0 \implies x_1 = 6$

$0.5x+4=0 \implies 0.5x = -4 \implies x_2 = -8$

$5x+10=0 \implies 5x = -10 \implies x_3 = -2$

Расположим точки на числовой оси: $-8$, $-2$, $6$. Точки выколотые, так как неравенство строгое.

Определим знаки. В интервале $(6, +\infty)$ при $x=10$: $(10-6)(0.5\cdot10+4)(5\cdot10+10) = 4 \cdot 9 \cdot 60 > 0$. Знак «+».

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть со знаком «-».

Это интервалы $(-\infty, -8)$ и $(-2, 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (-2, 6)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+3} > -3$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+3} + 3 > 0$

$\frac{x^2-2x+3 + 3(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} > 0$

$\frac{x^2-2x+3 + 3x^2-12x+9}{x^2-4x+3} > 0$

$\frac{4x^2-14x+12}{x^2-4x+3} > 0$

Вынесем 2 за скобки в числителе: $\frac{2(2x^2-7x+6)}{x^2-4x+3} > 0$.

Найдем корни числителя и знаменателя. Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2-4x+3 \neq 0$.

Корни числителя $2x^2-7x+6=0$: $D = 49-48=1$, $x_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{4}$. $x_1=2$, $x_2=1.5$.

Корни знаменателя $x^2-4x+3=0$: по теореме Виета $x_3=1$, $x_4=3$.

Неравенство можно переписать в виде: $\frac{2(x-1.5)(x-2)}{(x-1)(x-3)} > 0$.

Отметим точки $1, 1.5, 2, 3$ на числовой оси. Все точки выколотые.

Определим знаки. В интервале $(3, +\infty)$ при $x=4$: $\frac{2(4-1.5)(4-2)}{(4-1)(4-3)} > 0$. Знак «+». Знаки чередуются.

Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1.5, 2) \cup (3, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > 3$.

Перенесем все в левую часть: $\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 3 > 0$.

ОДЗ: $x \neq 1, x \neq -1$.

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:

$\frac{2(x+1) - (x-1) - 3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0$

$\frac{2x+2 - x+1 - 3(x^2-1)}{(x-1)(x+1)} > 0$

$\frac{x+3 - 3x^2+3}{(x-1)(x+1)} > 0 \implies \frac{-3x^2+x+6}{(x-1)(x+1)} > 0$.

Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{3x^2-x-6}{(x-1)(x+1)} < 0$.

Найдем корни числителя $3x^2-x-6=0$: $D=1-4(3)(-6)=73$. $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6}$.

Корни знаменателя: $x_3=1$, $x_4=-1$.

Расположим точки на оси. $\sqrt{73} \approx 8.54$, поэтому $\frac{1-\sqrt{73}}{6} \approx -1.26$, $\frac{1+\sqrt{73}}{6} \approx 1.59$.

Точки в порядке возрастания: $\frac{1-\sqrt{73}}{6}, -1, 1, \frac{1+\sqrt{73}}{6}$. Все точки выколотые.

В крайнем правом интервале $(\frac{1+\sqrt{73}}{6}, +\infty)$ выражение $\frac{3x^2-x-6}{(x-1)(x+1)}$ положительно (старшие коэффициенты положительны). Знаки чередуются.

Выбираем интервалы со знаком «-», так как решаем неравенство $< 0$.

Ответ: $x \in (\frac{1-\sqrt{73}}{6}, -1) \cup (1, \frac{1+\sqrt{73}}{6})$.

5) Решим неравенство $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2}$.

Перенесем все в левую часть: $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} - \frac{3}{x+2} > 0$.

ОДЗ: $x \neq -1, x \neq -2, x \neq -3$.

Общий знаменатель: $(x+1)(x+3)(x+2)$.

$\frac{(x+3)(x+2) + 2(x+1)(x+2) - 3(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0$

$\frac{(x^2+5x+6) + (2x^2+6x+4) - (3x^2+12x+9)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0$

$\frac{x^2+5x+6 + 2x^2+6x+4 - 3x^2-12x-9}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0$

$\frac{-x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0$.

Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{x-1}{(x+1)(x+2)(x+3)} < 0$.

Корни числителя и знаменателя: $1, -1, -2, -3$. Расположим их на оси: $-3, -2, -1, 1$. Все точки выколотые.

В интервале $(1, +\infty)$ при $x=2$ выражение $\frac{2-1}{(2+1)(2+2)(2+3)} > 0$. Знак «+». Далее знаки чередуются.

Выбираем интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-1, 1)$.

6) Решим неравенство $\frac{x-2}{x+2} \ge \frac{2x-3}{4x-1}$.

$\frac{x-2}{x+2} - \frac{2x-3}{4x-1} \ge 0$.

ОДЗ: $x \neq -2, x \neq 1/4$.

Общий знаменатель: $(x+2)(4x-1)$.

$\frac{(x-2)(4x-1) - (2x-3)(x+2)}{(x+2)(4x-1)} \ge 0$

$\frac{(4x^2-x-8x+2) - (2x^2+4x-3x-6)}{(x+2)(4x-1)} \ge 0$

$\frac{4x^2-9x+2 - (2x^2+x-6)}{(x+2)(4x-1)} \ge 0$

$\frac{2x^2-10x+8}{(x+2)(4x-1)} \ge 0 \implies \frac{2(x^2-5x+4)}{(x+2)(4x-1)} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $x^2-5x+4=0 \implies x_1=1, x_2=4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{2(x-1)(x-4)}{(x+2)(4x-1)} \ge 0$.

Корни числителя: $1, 4$. Корни знаменателя: $-2, 1/4$.

Отметим точки на оси. Точки $1$ и $4$ — закрашенные (неравенство нестрогое), точки $-2$ и $1/4$ — выколотые (ОДЗ).

В интервале $(4, +\infty)$ при $x=5$: $\frac{2(5-1)(5-4)}{(5+2)(4 \cdot 5-1)} > 0$. Знак «+». Знаки чередуются.

Выбираем интервалы со знаком «+», включая закрашенные точки.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (1/4, 1] \cup [4, +\infty)$.