Номер 6.52, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.52. При каких значениях $a$ неравенство $x^2-3ax+1>0$ верно для любого $x$?

Данное неравенство представляет собой квадратичную функцию относительно переменной $x$: $f(x) = x^2 - 3ax + 1$. Графиком этой функции является парабола.

Для того чтобы неравенство $x^2 - 3ax + 1 > 0$ было верно для любого значения $x$, необходимо, чтобы график функции $f(x)$ полностью располагался выше оси абсцисс (оси Ox). Это возможно при выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Коэффициент при $x^2$ равен 1, а $1 > 0$, так что это условие выполняется.

2. Парабола не должна иметь точек пересечения с осью Ox, то есть соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 3ax + 1 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ этого уравнения строго меньше нуля ($D < 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 3ax + 1$. Коэффициенты равны: $A=1$, $B=-3a$, $C=1$.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

Подставим значения коэффициентов:

$D = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9a^2 - 4$

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно параметра $a$:

$9a^2 - 4 < 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$9a^2 < 4$

Разделим обе части на 9:

$a^2 < \frac{4}{9}$

Это неравенство эквивалентно системе $|a| < \sqrt{\frac{4}{9}}$, что дает:

$|a| < \frac{2}{3}$

Раскрывая модуль, получаем двойное неравенство:

$-\frac{2}{3} < a < \frac{2}{3}$

Следовательно, при $a$, принадлежащем интервалу $(-\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$, исходное неравенство будет верно для любого значения $x$.

Ответ: $a \in (-\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.