Номер 6.36, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.36. Найдите целые корни многочлена и разложите его на множители:

1) $x^3-7x-6$;

2) $x^3+9x^2+11x-21$;

3) $x^3-5x^2+3x+1$;

4) $x^3+9x^2+23x+15$;

5) $x^4+3x^3-12x^2-38x-24$;

6) $x^4-6x^3-14x^2-11x-4.

1) $x^3-7x-6$
Для нахождения целых корней многочлена воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями его свободного члена.Свободный член равен -6. Его делители: $±1, ±2, ±3, ±6$.
Проверим эти значения, подставляя их в многочлен $P(x) = x^3-7x-6$:
$P(1) = 1^3 - 7(1) - 6 = 1 - 7 - 6 = -12 \ne 0$
$P(-1) = (-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.
Мы нашли первый корень $x_1 = -1$. Это значит, что многочлен делится на $(x - (-1)) = (x+1)$ без остатка.
Выполним деление многочлена $x^3-7x-6$ на $(x+1)$ столбиком:
$ (x^3 - 7x - 6) : (x+1) = x^2 - x - 6 $
Теперь у нас есть разложение: $(x+1)(x^2 - x - 6)$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: $x_2 = 3$ и $x_3 = -2$.
Таким образом, все целые корни многочлена: -1, -2, 3.
Разложение на множители: $x^3-7x-6 = (x+1)(x-3)(x+2)$.
Ответ: целые корни: -2, -1, 3; разложение: $(x+1)(x+2)(x-3)$.

2) $x^3+9x^2+11x-21$
Свободный член равен -21. Его делители: $±1, ±3, ±7, ±21$.
Проверим эти значения для $P(x) = x^3+9x^2+11x-21$:
$P(1) = 1^3 + 9(1)^2 + 11(1) - 21 = 1 + 9 + 11 - 21 = 0$.
Найден корень $x_1 = 1$. Разделим многочлен на $(x-1)$:
$ (x^3+9x^2+11x-21) : (x-1) = x^2 + 10x + 21 $.
Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 10x + 21 = 0$. По теореме Виета, сумма корней -10, произведение 21. Корни: $x_2 = -3$ и $x_3 = -7$.
Целые корни многочлена: 1, -3, -7.
Разложение на множители: $x^3+9x^2+11x-21 = (x-1)(x+3)(x+7)$.
Ответ: целые корни: -7, -3, 1; разложение: $(x-1)(x+3)(x+7)$.

3) $x^3-5x^2+3x+1$
Свободный член равен 1. Его делители: $±1$.
Проверим эти значения для $P(x) = x^3-5x^2+3x+1$:
$P(1) = 1^3 - 5(1)^2 + 3(1) + 1 = 1 - 5 + 3 + 1 = 0$.
Найден корень $x_1 = 1$. Разделим многочлен на $(x-1)$:
$ (x^3-5x^2+3x+1) : (x-1) = x^2 - 4x - 1 $.
Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 4x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$.
Корни $x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$. Эти корни не являются целыми.
Следовательно, у исходного многочлена только один целый корень.
Разложение на множители: $x^3-5x^2+3x+1 = (x-1)(x^2-4x-1)$.
Ответ: целый корень: 1; разложение: $(x-1)(x^2-4x-1)$.

4) $x^3+9x^2+23x+15$
Свободный член равен 15. Делители: $±1, ±3, ±5, ±15$. Так как все коэффициенты многочлена положительны, его корни могут быть только отрицательными.
Проверим отрицательные делители для $P(x) = x^3+9x^2+23x+15$:
$P(-1) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$.
Найден корень $x_1 = -1$. Разделим многочлен на $(x+1)$:
$ (x^3+9x^2+23x+15) : (x+1) = x^2 + 8x + 15 $.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней -8, произведение 15. Корни: $x_2 = -3$ и $x_3 = -5$.
Целые корни многочлена: -1, -3, -5.
Разложение на множители: $x^3+9x^2+23x+15 = (x+1)(x+3)(x+5)$.
Ответ: целые корни: -5, -3, -1; разложение: $(x+1)(x+3)(x+5)$.

5) $x^4+3x^3-12x^2-38x-24$
Свободный член равен -24. Его делители: $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24$.
Проверим значения для $P(x) = x^4+3x^3-12x^2-38x-24$:
$P(-1) = (-1)^4 + 3(-1)^3 - 12(-1)^2 - 38(-1) - 24 = 1 - 3 - 12 + 38 - 24 = 0$.
Найден корень $x_1 = -1$. Разделим многочлен на $(x+1)$:
$ (x^4+3x^3-12x^2-38x-24) : (x+1) = x^3+2x^2-14x-24 $.
Теперь ищем целые корни для нового многочлена $Q(x) = x^3+2x^2-14x-24$. Его свободный член -24, так что возможные корни те же.
$Q(-4) = (-4)^3 + 2(-4)^2 - 14(-4) - 24 = -64 + 32 + 56 - 24 = 0$.
Найден корень $x_2 = -4$. Разделим $Q(x)$ на $(x+4)$:
$ (x^3+2x^2-14x-24) : (x+4) = x^2 - 2x - 6 $.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-6) = 4 + 24 = 28$.
Корни $x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$. Эти корни не являются целыми.
Таким образом, целые корни исходного многочлена: -1, -4.
Разложение на множители: $x^4+3x^3-12x^2-38x-24 = (x+1)(x+4)(x^2-2x-6)$.
Ответ: целые корни: -4, -1; разложение: $(x+1)(x+4)(x^2-2x-6)$.

6) $x^4-6x^3-14x^2-11x-4$
Свободный член равен -4. Его делители: $±1, ±2, ±4$.
Проверим эти значения для $P(x) = x^4-6x^3-14x^2-11x-4$:
$P(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^3 - 14(-1)^2 - 11(-1) - 4 = 1 + 6 - 14 + 11 - 4 = 0$.
Найден корень $x_1 = -1$. Разделим многочлен на $(x+1)$:
$ (x^4-6x^3-14x^2-11x-4) : (x+1) = x^3-7x^2-7x-4 $.
Теперь ищем целые корни для многочлена $Q(x) = x^3-7x^2-7x-4$. Его свободный член -4, делители $±1, ±2, ±4$.
$Q(1) = 1-7-7-4 = -17 \ne 0$
$Q(-1) = -1-7+7-4 = -5 \ne 0$
$Q(2) = 8-28-14-4 = -38 \ne 0$
$Q(-2) = -8-28+14-4 = -26 \ne 0$
$Q(4) = 64-112-28-4 = -80 \ne 0$
$Q(-4) = -64-112+28-4 = -152 \ne 0$
Других целых корней нет. Единственный целый корень исходного многочлена - это -1.
Разложение на множители: $x^4-6x^3-14x^2-11x-4 = (x+1)(x^3-7x^2-7x-4)$.
Ответ: целый корень: -1; разложение: $(x+1)(x^3-7x^2-7x-4)$.