Номер 5.110, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.110. В коробке имеются 2 синих, 4 красных и 5 белых альчиков. Сколькими способами из этой коробки можно извлечь:

1) 3 альчика;

2) 3 альчика разных цветов;

3) 3 альчика так, чтобы два из них были одного цвета?

1) 3 альчика
В коробке находится $2$ синих, $4$ красных и $5$ белых альчиков. Общее количество альчиков: $2 + 4 + 5 = 11$.
Нужно найти количество способов извлечь 3 альчика из 11. Поскольку порядок извлечения не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.
В данном случае $n=11$ и $k=3$.
$C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$.
Таким образом, существует 165 способов извлечь 3 альчика из коробки.
Ответ: 165.

2) 3 альчика разных цветов
Чтобы извлечь 3 альчика разных цветов, необходимо взять 1 синий, 1 красный и 1 белый альчик.
Количество способов выбрать 1 синий альчик из 2 имеющихся: $C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = 2$.
Количество способов выбрать 1 красный альчик из 4 имеющихся: $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.
Количество способов выбрать 1 белый альчик из 5 имеющихся: $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов для каждого выбора:$N = C_2^1 \times C_4^1 \times C_5^1 = 2 \times 4 \times 5 = 40$.
Таким образом, существует 40 способов извлечь 3 альчика разных цветов.
Ответ: 40.

3) 3 альчика так, чтобы два из них были одного цвета?
Это означает, что мы должны извлечь 2 альчика одного цвета и 1 альчик другого цвета. Рассмотрим все возможные варианты:

Случай 1: 2 синих и 1 не синий альчик.
Количество способов выбрать 2 синих альчика из 2: $C_2^2 = 1$.
Количество не синих альчиков (красных и белых): $4 + 5 = 9$.
Количество способов выбрать 1 не синий альчик из 9: $C_9^1 = 9$.
Общее число способов для этого случая: $C_2^2 \times C_9^1 = 1 \times 9 = 9$.

Случай 2: 2 красных и 1 не красный альчик.
Количество способов выбрать 2 красных альчика из 4: $C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
Количество не красных альчиков (синих и белых): $2 + 5 = 7$.
Количество способов выбрать 1 не красный альчик из 7: $C_7^1 = 7$.
Общее число способов для этого случая: $C_4^2 \times C_7^1 = 6 \times 7 = 42$.

Случай 3: 2 белых и 1 не белый альчик.
Количество способов выбрать 2 белых альчика из 5: $C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
Количество не белых альчиков (синих и красных): $2 + 4 = 6$.
Количество способов выбрать 1 не белый альчик из 6: $C_6^1 = 6$.
Общее число способов для этого случая: $C_5^2 \times C_6^1 = 10 \times 6 = 60$.

Так как эти три случая являются взаимоисключающими, общее количество способов равно сумме способов для каждого случая:
$N = 9 + 42 + 60 = 111$.
Ответ: 111.