Номер 5.65, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.65. В мешочке 4 белых и 2 красных альчика. Какова вероятность того, что наудачу извлеченные 2 альчика имеют различные цвета?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

Сначала определим общее количество альчиков в мешочке. Оно равно сумме белых и красных альчиков: $4 + 2 = 6$ альчиков.

Общее число возможных исходов $n$ — это количество способов извлечь $2$ альчика из $6$. Так как порядок извлечения не важен, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$, которая имеет вид $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=6$ и $k=2$, поэтому общее число исходов равно:

$n = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Итак, существует $15$ различных способов извлечь $2$ альчика из $6$.

Далее найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это когда извлеченные альчики имеют различные цвета, то есть один из них белый, а другой — красный.

Число способов выбрать $1$ белый альчик из $4$ имеющихся равно $C_4^1 = 4$.
Число способов выбрать $1$ красный альчик из $2$ имеющихся равно $C_2^1 = 2$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов извлечь $1$ белый и $1$ красный альчик равно произведению этих двух величин:

$m = C_4^1 \times C_2^1 = 4 \times 2 = 8$.

Таким образом, существует $8$ благоприятных исходов.

Теперь мы можем вычислить вероятность события (извлечения двух альчиков разных цветов), разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{8}{15}$.

Ответ: $\frac{8}{15}$