Номер 5.62, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.62. Чтобы вывести из строя вражеский мост, достаточно одного точного попадания авиабомбой. В него были брошены две авиабомбы с вероятностями поражения цели, равными соответственно $0,6$ и $0,7$. Найдите вероятность того, что мост выйдет из строя.

Для решения задачи определим события и их вероятности.

Пусть событие $A$ заключается в том, что первая авиабомба попала в мост. Вероятность этого события по условию равна $P(A) = 0,6$.

Пусть событие $B$ заключается в том, что вторая авиабомба попала в мост. Вероятность этого события по условию равна $P(B) = 0,7$.

Попадания первой и второй бомб являются независимыми событиями. Мост будет выведен из строя, если произойдет хотя бы одно точное попадание. Это означает, что должно произойти либо событие $A$, либо событие $B$, либо оба события вместе. Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Через вероятность противоположного события

Противоположным событием к "мост будет выведен из строя" (хотя бы одно попадание) является событие "мост не будет выведен из строя" (ни одного попадания). Это произойдет только в том случае, если обе бомбы промахнутся.

Найдем вероятности промахов для каждой бомбы. Промах — это событие, противоположное попаданию.

Вероятность промаха первой бомбы: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4$.

Вероятность промаха второй бомбы: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Так как события независимы, вероятность того, что обе бомбы промахнутся, равна произведению вероятностей этих промахов:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$.

Искомая вероятность того, что мост выйдет из строя (произойдет хотя бы одно попадание), равна разности между единицей и вероятностью противоположного события (что обе бомбы промахнутся):

$P(\text{мост выйдет из строя}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,12 = 0,88$.

Способ 2: По формуле сложения вероятностей

Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из двух событий (то есть мост будет поражен), можно найти по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Здесь $P(A \cup B)$ — это вероятность того, что произойдет событие $A$ или событие $B$. $P(A \cap B)$ — это вероятность того, что произойдут оба события $A$ и $B$ одновременно (обе бомбы попадут в цель).

Поскольку события $A$ и $B$ независимы, вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,6 \times 0,7 = 0,42$.

Теперь подставим все значения в формулу сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 1,3 - 0,42 = 0,88$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0,88