Страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

310 Докажите двумя способами, что не существует таких значений $x$, при которых выполняется неравенство:

а) $x^2 - 4x + 5 < 0$;

б) $-x^2 + 8x - 20 > 0$.

а) Докажем, что неравенство $x^2 - 4x + 5 < 0$ не имеет решений.

Способ 1: Выделение полного квадрата.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.

Неравенство принимает вид: $(x - 2)^2 + 1 < 0$.

Выражение $(x - 2)^2$ является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно для любого значения $x$, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$.

Тогда сумма $(x - 2)^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1: $(x - 2)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Таким образом, левая часть неравенства всегда положительна (и не меньше 1) и никогда не может быть меньше нуля. Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых неравенство выполняется.

Способ 2: Анализ квадратичной функции.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 5$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), для чего решим уравнение $x^2 - 4x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Это значит, что для любого значения $x$ значение функции $y = x^2 - 4x + 5$ всегда положительно ($y > 0$).

Следовательно, неравенство $x^2 - 4x + 5 < 0$ не может выполняться ни при каких значениях $x$.

Ответ: доказано, что неравенство не имеет решений.

б) Докажем, что неравенство $-x^2 + 8x - 20 > 0$ не имеет решений.

Способ 1: Выделение полного квадрата.

Преобразуем левую часть неравенства. Вынесем минус за скобки:

$-x^2 + 8x - 20 = -(x^2 - 8x + 20)$.

Теперь выделим полный квадрат в скобках:

$x^2 - 8x + 20 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 - 4^2 + 20 = (x^2 - 8x + 16) + 4 = (x - 4)^2 + 4$.

Тогда исходное выражение равно $-( (x - 4)^2 + 4 ) = -(x - 4)^2 - 4$.

Неравенство принимает вид: $-(x - 4)^2 - 4 > 0$.

Выражение $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно: $(x - 4)^2 \ge 0$.

Тогда $-(x - 4)^2$ всегда неположительно: $-(x - 4)^2 \le 0$.

Следовательно, выражение $-(x - 4)^2 - 4$ всегда будет меньше или равно -4: $-(x - 4)^2 - 4 \le 0 - 4 = -4$.

Таким образом, левая часть неравенства всегда отрицательна (и не больше -4) и никогда не может быть больше нуля. Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых неравенство выполняется.

Способ 2: Анализ квадратичной функции.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 8x - 20$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$, что меньше нуля ($a < 0$), значит, ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), решив уравнение $-x^2 + 8x - 20 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-20) = 64 - 80 = -16$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси Ox. Это значит, что для любого значения $x$ значение функции $y = -x^2 + 8x - 20$ всегда отрицательно ($y < 0$).

Следовательно, неравенство $-x^2 + 8x - 20 > 0$ не может выполняться ни при каких значениях $x$.

Ответ: доказано, что неравенство не имеет решений.