Страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

304 Решите систему неравенств:

a) $$\begin{cases} 6x^2 - 54 \le 0 \\ x + 3 > 3; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 3x^2 + 2x - 1 \ge 0 \\ 2 - \frac{1}{2}x \ge 0; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 6x^2 + 7x + 1 \le 0 \\ x^2 - 4 \ge 0; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} x^2 - 1 \le 0 \\ x^2 - 3x \ge 0; \end{cases}$$

д) $$\begin{cases} x^2 + 5 > 0 \\ x^2 + 5x > 0; \end{cases}$$

е) $$\begin{cases} -(x + 1)^2 < 0 \\ 1 - x \ge 0. \end{cases}$$

а) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $6x^2 - 54 \le 0$.
Разделим обе части на 6: $x^2 - 9 \le 0$.
Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) \le 0$.
Корни соответствующего уравнения $x^2 - 9 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны на отрезке между корнями.
Следовательно, решение этого неравенства: $x \in [-3, 3]$.
2) $x + 3 > 3$.
Вычтем 3 из обеих частей: $x > 0$.
Решение этого неравенства: $x \in (0, +\infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-3, 3] \cap (0, +\infty)$.
Общим решением является интервал $(0, 3]$.
Ответ: $(0, 3]$.

б) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $3x^2 + 2x - 1 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$.
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Парабола $y = 3x^2 + 2x - 1$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ вне отрезка между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)$.
2) $2 - \frac{1}{2}x \ge 0$.
$-\frac{1}{2}x \ge -2$.
Умножим на -2 и сменим знак неравенства: $x \le 4$.
Решение: $x \in (-\infty, 4]$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)) \cap (-\infty, 4]$.
Общим решением является объединение промежутков $(-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, 4]$.
Ответ: $(-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, 4]$.

в) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $6x^2 + 7x + 1 \le 0$.
Найдем корни уравнения $6x^2 + 7x + 1 = 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$.
$x_1 = \frac{-7 - 5}{12} = -1$.
$x_2 = \frac{-7 + 5}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.
Парабола $y = 6x^2 + 7x + 1$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями.
Решение: $x \in [-1, -\frac{1}{6}]$.
2) $x^2 - 4 \ge 0$.
$(x - 2)(x + 2) \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x_1 = -2, x_2 = 2$. Парабола с ветвями вверх, значит, неравенство верно вне отрезка между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $[-1, -\frac{1}{6}] \cap ((-\infty, -2] \cup [2, +\infty))$.
Отрезок $[-1, -\frac{1}{6}]$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

г) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $x^2 - 1 \le 0$.
$(x - 1)(x + 1) \le 0$.
Решением является отрезок между корнями $x = -1$ и $x = 1$.
Решение: $x \in [-1, 1]$.
2) $x^2 - 3x \ge 0$.
$x(x - 3) \ge 0$.
Корни $x=0, x=3$. Парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне отрезка между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $[-1, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [3, +\infty))$.
Пересечением является отрезок $[-1, 0]$.
Ответ: $[-1, 0]$.

д) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $x^2 + 5 > 0$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 5 \ge 5$.
Следовательно, неравенство $x^2 + 5 > 0$ выполняется для всех $x$.
Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.
2) $x^2 + 5x > 0$.
$x(x + 5) > 0$.
Корни $x=0, x=-5$. Парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $(-\infty, +\infty) \cap ((-\infty, -5) \cup (0, +\infty))$.
Общим решением является $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

е) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $-(x + 1)^2 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $(x + 1)^2 > 0$.
Квадрат любого выражения не отрицателен. Равенство нулю достигается при $x + 1 = 0$, то есть $x = -1$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = -1$.
Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.
2) $1 - x \ge 0$.
$1 \ge x$, или $x \le 1$.
Решение: $x \in (-\infty, 1]$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)) \cap (-\infty, 1]$.
Это все числа из промежутка $(-\infty, 1]$, за исключением точки $x = -1$.
Общим решением является $(-\infty, -1) \cup (-1, 1]$.
Ответ: $(-\infty, -1) \cup (-1, 1]$.

305 РАССУЖДАЕМ Найдите допустимые значения переменной в выражении:

а) $\sqrt{7x^2 + 6x - 1}$;

б) $\sqrt{4 + x - 0,5x^2}$;

в) $\sqrt{3 - \frac{1}{2}x^2}$;

г) $\sqrt{\frac{9 - x^2}{x}}$;

д) $\sqrt{\frac{4 - x^2}{x^2 - 1}}$;

е) $\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}}$.

а) Выражение $ \sqrt{7x^2 + 6x - 1} $ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство:
$ 7x^2 + 6x - 1 \geq 0 $
Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения $ 7x^2 + 6x - 1 = 0 $.
Вычислим дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 $
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{-6 - 8}{14} = \frac{-14}{14} = -1 $
$ x_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{-6 + 8}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} $
Графиком функции $ y = 7x^2 + 6x - 1 $ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $ x^2 $ равен 7, что больше 0). Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $ x \leq -1 $ или $ x \geq \frac{1}{7} $.
В виде интервалов: $ x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{7}, +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{7}, +\infty) $.

б) Для выражения $ \sqrt{4 + x - 0,5x^2} $ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$ 4 + x - 0,5x^2 \geq 0 $
Умножим неравенство на -2, чтобы избавиться от дробного коэффициента и сделать коэффициент при $ x^2 $ положительным. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$ x^2 - 2x - 8 \leq 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 - 2x - 8 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -8. Корни: $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = 4 $.
Графиком функции $ y = x^2 - 2x - 8 $ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $ -2 \leq x \leq 4 $.
В виде интервала: $ x \in [-2, 4] $.
Ответ: $ x \in [-2, 4] $.

в) Для выражения $ \sqrt{3 - \frac{1}{2}x^2} $ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$ 3 - \frac{1}{2}x^2 \geq 0 $
$ 3 \geq \frac{1}{2}x^2 $
$ 6 \geq x^2 $, или $ x^2 \leq 6 $.
Это неравенство равносильно системе $ -\sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6} $.
В виде интервала: $ x \in [-\sqrt{6}, \sqrt{6}] $.
Ответ: $ x \in [-\sqrt{6}, \sqrt{6}] $.

г) В выражении $ \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x} $ должны выполняться два условия:
1. Подкоренное выражение неотрицательно: $ 9 - x^2 \geq 0 $.
2. Знаменатель не равен нулю: $ x \neq 0 $.
Решим первое неравенство:
$ 9 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 9 \implies -3 \leq x \leq 3 $.
Теперь учтем второе условие $ x \neq 0 $. Исключаем точку 0 из отрезка $ [-3, 3] $.
Получаем объединение двух интервалов: $ [-3, 0) \cup (0, 3] $.
Ответ: $ x \in [-3, 0) \cup (0, 3] $.

д) Для выражения $ \sqrt{\frac{4 - x^2}{x^2 - 1}} $ дробь под корнем должна быть неотрицательна, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$ \frac{4 - x^2}{x^2 - 1} \geq 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. Преобразуем его:
$ \frac{-(x^2 - 4)}{x^2 - 1} \geq 0 $
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} \leq 0 $
$ \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)} \leq 0 $
Нанесем на числовую ось нули числителя ($ x = -2, x = 2 $, эти точки включаем) и нули знаменателя ($ x = -1, x = 1 $, эти точки исключаем).
Получим интервалы: $ (-\infty, -2] $, $ [-2, -1) $, $ (-1, 1) $, $ (1, 2] $, $ [2, +\infty) $.
Определим знак выражения в каждом интервале:
При $ x > 2 $, выражение положительно.
При $ x \in (1, 2] $, выражение отрицательно.
При $ x \in (-1, 1) $, выражение положительно.
При $ x \in [-2, -1) $, выражение отрицательно.
При $ x < -2 $, выражение положительно.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю.
Таким образом, $ x \in [-2, -1) \cup (1, 2] $.
Ответ: $ x \in [-2, -1) \cup (1, 2] $.

е) В выражении $ \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x^2 - 4} $ должны выполняться два условия:
1. Подкоренное выражение неотрицательно: $ x^2 - 1 \geq 0 $.
2. Знаменатель не равен нулю: $ x^2 - 4 \neq 0 $.
Решим первое неравенство:
$ x^2 - 1 \geq 0 \implies x^2 \geq 1 $. Это верно при $ x \leq -1 $ или $ x \geq 1 $.
В виде интервалов: $ x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $.
Решим второе условие:
$ x^2 - 4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.
Теперь объединим оба условия: из множества $ (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $ нужно исключить точки -2 и 2.
Точка $ x = -2 $ принадлежит промежутку $ (-\infty, -1] $, поэтому этот промежуток разбивается на два: $ (-\infty, -2) \cup (-2, -1] $.
Точка $ x = 2 $ принадлежит промежутку $ [1, +\infty) $, поэтому этот промежуток разбивается на два: $ [1, 2) \cup (2, +\infty) $.
Объединяя все, получаем: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup [1, 2) \cup (2, +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup [1, 2) \cup (2, +\infty) $.

306 a) При каких значениях $b$ уравнение $x^2 + bx + 4 = 0$ имеет два корня? Имеет ли уравнение корни при $b = -25,5; 1,5; 5,36$?

б) При каких значениях $b$ уравнение $-2x^2 - bx - 8 = 0$ имеет корни? Приведите пример отрицательного значения $b$, удовлетворяющего этому условию.

а)

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + bx + 4 = 0$.
Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$. Формула дискриминанта: $D = k^2 - 4ac$, где $a, k, c$ — коэффициенты уравнения $ax^2 + kx + c = 0$.
Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, коэффициент при $x$ равен $b$, свободный член $c = 4$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = b^2 - 16$.

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).
Решим неравенство:
$b^2 - 16 > 0$
$b^2 > 16$
Это неравенство верно, когда $|b| > 4$, то есть $b < -4$ или $b > 4$.
Таким образом, уравнение имеет два корня при $b \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь проверим, имеет ли уравнение корни (один или два) при заданных значениях $b$. Уравнение имеет действительные корни, если $D \ge 0$, то есть $b^2 - 16 \ge 0$, что эквивалентно $|b| \ge 4$.
- При $b = -25,5$: вычисляем $|-25,5| = 25,5$. Так как $25,5 \ge 4$, условие выполняется, и уравнение имеет корни.
- При $b = 1,5$: вычисляем $|1,5| = 1,5$. Так как $1,5 < 4$, условие не выполняется, и уравнение не имеет действительных корней.
- При $b = 5,36$: вычисляем $|5,36| = 5,36$. Так как $5,36 \ge 4$, условие выполняется, и уравнение имеет корни.

Ответ: уравнение имеет два корня при $b \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$. При $b = -25,5$ и $b = 5,36$ уравнение имеет корни, а при $b = 1,5$ — не имеет.

б)

Рассмотрим квадратное уравнение $-2x^2 - bx - 8 = 0$.
Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).
Коэффициенты уравнения: $a = -2$, коэффициент при $x$ равен $-b$, свободный член $c = -8$.
Найдем дискриминант:
$D = (-b)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-8) = b^2 - 64$.

Решим неравенство $D \ge 0$:
$b^2 - 64 \ge 0$
$b^2 \ge 64$
Это неравенство выполняется, если $|b| \ge 8$, то есть $b \ge 8$ или $b \le -8$.
Следовательно, уравнение имеет корни при $b \in (-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$.

Далее, приведем пример отрицательного значения $b$, удовлетворяющего этому условию. Для этого необходимо выбрать любое число из промежутка $(-\infty; -8]$.
Например, выберем $b = -10$. Это отрицательное число, и оно удовлетворяет условию $b \le -8$, так как $-10 \le -8$.

Ответ: уравнение имеет корни при $b \in (-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$. Пример отрицательного значения $b$, удовлетворяющего этому условию: $-10$.

307 Найдите все целые значения $b$, при которых уравнение $9x^2 + 2bx + 1 = 0$ не имеет корней.

Данное уравнение $9x^2 + 2bx + 1 = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант меньше нуля.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + kx + c = 0$. В нашем случае коэффициенты равны: $a = 9$, $k = 2b$, $c = 1$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = k^2 - 4ac$: $D = (2b)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 4b^2 - 36$

Так как уравнение не имеет корней, должно выполняться условие $D < 0$: $4b^2 - 36 < 0$

Решим полученное неравенство: $4b^2 < 36$ $b^2 < \frac{36}{4}$ $b^2 < 9$

Это неравенство справедливо для всех $b$, находящихся в интервале: $-3 < b < 3$

Согласно условию задачи, необходимо найти все целые значения $b$, которые принадлежат этому интервалу. Такими значениями являются: -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

308 a) Найдите все значения $m$, при которых уравнение $mx^2 - 2x + m = 0$ имеет два корня. Из чисел -1,5; -0,5; 0; 0,5; 1,5 выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

б) Найдите все целые значения $m$, при которых уравнение $4mx^2 + 5x + m = 0$ имеет два корня.

а)

Рассмотрим уравнение $mx^2 - 2x + m = 0$.

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо выполнение двух условий:

1. Уравнение должно быть квадратным. Это значит, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю: $m \neq 0$.

2. Дискриминант $D$ уравнения должен быть строго положительным ($D > 0$).

Вычислим дискриминант. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=m$, $b=-2$, $c=m$ он равен:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot m \cdot m = 4 - 4m^2$.

Решим неравенство $D > 0$:

$4 - 4m^2 > 0$

$4 > 4m^2$

$1 > m^2$ или $m^2 < 1$

Решением этого неравенства является интервал $-1 < m < 1$.

Объединяя оба условия ($m \neq 0$ и $-1 < m < 1$), получаем искомое множество значений для $m$: $m \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Теперь из чисел $-1,5; -0,5; 0; 0,5; 1,5$ выберем те, которые удовлетворяют этому условию:

• $-1,5$: не удовлетворяет, так как не принадлежит интервалу $(-1, 1)$.
• $-0,5$: удовлетворяет, так как $-1 < -0,5 < 1$ и $-0,5 \neq 0$.
• $0$: не удовлетворяет, так как $m \neq 0$.
• $0,5$: удовлетворяет, так как $-1 < 0,5 < 1$ и $0,5 \neq 0$.
• $1,5$: не удовлетворяет, так как не принадлежит интервалу $(-1, 1)$.

Ответ: $m \in (-1; 0) \cup (0; 1)$; из предложенных чисел условию удовлетворяют $-0,5$ и $0,5$.

б)

Рассмотрим уравнение $4mx^2 + 5x + m = 0$.

Уравнение имеет два различных корня, если оно является квадратным (коэффициент при старшей степени отличен от нуля) и его дискриминант положителен.

1. Условие, что уравнение является квадратным: $4m \neq 0$, следовательно, $m \neq 0$.

2. Вычислим дискриминант $D$. Здесь $a=4m$, $b=5$, $c=m$.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (4m) \cdot m = 25 - 16m^2$.

Решим неравенство $D > 0$:

$25 - 16m^2 > 0$

$25 > 16m^2$

$m^2 < \frac{25}{16}$

Извлекая корень из обеих частей, получаем:

$|m| < \sqrt{\frac{25}{16}}$

$|m| < \frac{5}{4}$ или $|m| < 1,25$.

Это неравенство равносильно $-1,25 < m < 1,25$.

Согласно условию, необходимо найти все целые значения $m$, которые удовлетворяют двум условиям: $-1,25 < m < 1,25$ и $m \neq 0$.

В интервал $(-1,25; 1,25)$ входят следующие целые числа: $-1, 0, 1$.

Исключая $m=0$, получаем искомые значения: $-1$ и $1$.

Ответ: $-1; 1$.

309 Докажите двумя способами, что при всех значениях переменной $a$ верно неравенство:

а) $a^2 + a + 1 > 0;$ б) $-a^2 + 3a - 5 < 0.$

Подсказка.

1) Используйте графические соображения.

2) Выделите квадрат двучлена и сравните полученное выражение с нулём.

а) Докажите, что при всех значениях переменной $a$ верно неравенство $a^2 + a + 1 > 0$.

1) Использование графических соображений.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = a^2 + a + 1$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $a^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, для чего решим уравнение $a^2 + a + 1 = 0$. Вычислим дискриминант $D$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс. Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $a$, вся парабола расположена выше оси абсцисс. Следовательно, $a^2 + a + 1 > 0$ при любом значении $a$.

2) Выделение квадрата двучлена.

Преобразуем выражение $a^2 + a + 1$, выделив в нем полный квадрат: $a^2 + a + 1 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$. При любом действительном значении $a$ выражение $(a + \frac{1}{2})^2$ является квадратом и, следовательно, неотрицательно: $(a + \frac{1}{2})^2 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять это слагаемое, равно 0 (при $a = -\frac{1}{2}$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$. Поскольку $\frac{3}{4} > 0$, то и исходное выражение $a^2 + a + 1$ всегда положительно.

Ответ: Неравенство $a^2 + a + 1 > 0$ верно при всех значениях $a$.

б) Докажите, что при всех значениях переменной $a$ верно неравенство $-a^2 + 3a - 5 < 0$.

1) Использование графических соображений.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = -a^2 + 3a - 5$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $a^2$ равен -1, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $-a^2 + 3a - 5 = 0$. Вычислим дискриминант $D$: $D = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 9 - 20 = -11$. Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс. Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $a$, вся парабола расположена ниже оси абсцисс. Следовательно, $-a^2 + 3a - 5 < 0$ при любом значении $a$.

2) Выделение квадрата двучлена.

Преобразуем выражение $-a^2 + 3a - 5$, выделив в нем полный квадрат. Сначала вынесем -1 за скобки: $-a^2 + 3a - 5 = -(a^2 - 3a + 5)$. Теперь преобразуем выражение в скобках: $a^2 - 3a + 5 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 5 = (a - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{20}{4} = (a - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4}$. Подставим полученное выражение обратно: $-(a^2 - 3a + 5) = -((a - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4}) = -(a - \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$. При любом действительном значении $a$ выражение $(a - \frac{3}{2})^2 \ge 0$, следовательно, $-(a - \frac{3}{2})^2 \le 0$. Наибольшее значение, которое может принять слагаемое $-(a - \frac{3}{2})^2$, равно 0 (при $a = \frac{3}{2}$). Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно $0 - \frac{11}{4} = -\frac{11}{4}$. Поскольку $-\frac{11}{4} < 0$, то и исходное выражение $-a^2 + 3a - 5$ всегда отрицательно.

Ответ: Неравенство $-a^2 + 3a - 5 < 0$ верно при всех значениях $a$.