Страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

296 a) $(2 - x)(x - 4) > 0;$

б) $(x + 8)(1 - x) \le 0;$

в) $2x(x + 3) \ge 0;$

г) $0.5x(10 - x) < 0.$

а) Для решения неравенства $(2-x)(x-4) > 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдём корни соответствующего уравнения $(2-x)(x-4) = 0$. Получаем $2-x=0 \Rightarrow x_1=2$ и $x-4=0 \Rightarrow x_2=4$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 2)$, $(2, 4)$ и $(4, +\infty)$. Так как неравенство строгое, точки $x=2$ и $x=4$ не входят в решение. Определим знак выражения на каждом интервале, подставляя пробные точки.

• При $x=0$ (интервал $(-\infty, 2)$): $(2-0)(0-4) = -8 < 0$.
• При $x=3$ (интервал $(2, 4)$): $(2-3)(3-4) = (-1)(-1) = 1 > 0$.
• При $x=5$ (интервал $(4, +\infty)$): $(2-5)(5-4) = -3(1) = -3 < 0$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля. Этому условию соответствует интервал $(2, 4)$.
Ответ: $x \in (2, 4)$.

б) Решим неравенство $(x+8)(1-x) \le 0$ методом интервалов. Найдём нули функции, приравняв выражение к нулю: $(x+8)(1-x) = 0$. Корни: $x+8=0 \Rightarrow x_1=-8$ и $1-x=0 \Rightarrow x_2=1$. Поскольку неравенство нестрогое, точки $x=-8$ и $x=1$ включаются в решение. Они делят числовую ось на интервалы $(-\infty, -8]$, $[-8, 1]$ и $[1, +\infty)$. Определим знаки на интервалах.

• При $x=-10$ (интервал $(-\infty, -8]$): $(-10+8)(1-(-10)) = (-2)(11) = -22 \le 0$.
• При $x=0$ (интервал $[-8, 1]$): $(0+8)(1-0) = 8 > 0$.
• При $x=2$ (интервал $[1, +\infty)$): $(2+8)(1-2) = 10(-1) = -10 \le 0$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Этому условию соответствуют два интервала.
Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [1, +\infty)$.

в) Решим неравенство $2x(x+3) \ge 0$. Найдём нули выражения: $2x(x+3) = 0$. Корни: $2x=0 \Rightarrow x_1=0$ и $x+3=0 \Rightarrow x_2=-3$. Неравенство нестрогое, поэтому точки $x=-3$ и $x=0$ являются частью решения. Отметим их на числовой оси, которая разделится на интервалы $(-\infty, -3]$, $[-3, 0]$ и $[0, +\infty)$. Выражение $2x(x+3)=2x^2+6x$ задаёт параболу с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между ними.

• На интервале $(-\infty, -3]$ выражение $2x(x+3) \ge 0$.
• На интервале $[-3, 0]$ выражение $2x(x+3) \le 0$.
• На интервале $[0, +\infty)$ выражение $2x(x+3) \ge 0$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty)$.

г) Решим неравенство $0.5x(10-x) < 0$. Найдём нули: $0.5x(10-x) = 0$. Корни: $0.5x=0 \Rightarrow x_1=0$ и $10-x=0 \Rightarrow x_2=10$. Неравенство строгое, поэтому точки $x=0$ и $x=10$ не входят в решение. Они делят числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 10)$ и $(10, +\infty)$. Выражение $0.5x(10-x) = -0.5x^2+5x$ задаёт параболу с ветвями вниз, поэтому она отрицательна вне корней и положительна между ними.

• На интервале $(-\infty, 0)$ выражение $0.5x(10-x) < 0$.
• На интервале $(0, 10)$ выражение $0.5x(10-x) > 0$.
• На интервале $(10, +\infty)$ выражение $0.5x(10-x) < 0$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (10, +\infty)$.

297 a) $4x(x+2) < 5;$

б) $(2x+1)(x+1) > 3;$

В) $3x(1-x) \le -6;$

Г) $(1-2x)(1-3x) \le 2.$

а) $4x(x + 2) < 5$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть неравенства, чтобы получить квадратное неравенство:

$4x^2 + 8x < 5$

$4x^2 + 8x - 5 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 8x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$

Мы решаем неравенство $4x^2 + 8x - 5 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=4 > 0$), ветви параболы $y = 4x^2 + 8x - 5$ направлены вверх. Значения функции меньше нуля (то есть парабола находится ниже оси x) между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-2.5; 0.5)$.

Ответ: $x \in (-2.5; 0.5)$.

б) $(2x + 1)(x + 1) > 3$

Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду:

$2x^2 + 2x + x + 1 > 3$

$2x^2 + 3x + 1 - 3 > 0$

$2x^2 + 3x - 2 > 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x - 2$ направлены вверх ($a=2 > 0$), поэтому значения функции больше нуля (парабола выше оси x) вне интервала между корнями.

Следовательно, решением является объединение интервалов $(-\infty; -2)$ и $(0.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0.5; +\infty)$.

в) $3x(1 - x) \le -6$

Раскроем скобки и преобразуем неравенство:

$3x - 3x^2 \le -6$

Перенесем все члены в одну сторону: $-3x^2 + 3x + 6 \le 0$.

Для удобства разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -2. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Значения функции не меньше нуля (парабола на оси x или выше) при значениях $x$ на корнях и вне интервала между ними.

Следовательно, решением является $x \le -1$ или $x \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

г) $(1 - 2x)(1 - 3x) \le 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 - 3x - 2x + 6x^2 \le 2$

$6x^2 - 5x + 1 \le 2$

$6x^2 - 5x - 1 \le 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $6x^2 - 5x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$

Ветви параболы $y = 6x^2 - 5x - 1$ направлены вверх ($a=6 > 0$). Значения функции не больше нуля (парабола на оси x или ниже) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{1}{6} \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{6}; 1]$.

298 a) $(x - 2)^2 > 4 - x^2;$

б) $(x + 3)^2 < x^2 - 9;$

В) $3x^2 - 6x < 8 - 6x^2;$

Г) $5x^2 + 17x > 5x - 4.$

а) $(x - 2)^2 > 4 - x^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$x^2 - 4x + 4 > 4 - x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные:

$x^2 - 4x + 4 - 4 + x^2 > 0$

$2x^2 - 4x > 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 - 2x > 0$

Разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(x - 2) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Это парабола $y = x^2 - 2x$, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше нуля на промежутках, находящихся вне корней.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$

б) $(x + 3)^2 < x^2 - 9$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$x^2 + 6x + 9 < x^2 - 9$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены - в правую:

$x^2 - x^2 + 6x < -9 - 9$

$6x < -18$

Разделим обе части неравенства на 6 (знак неравенства не меняется):

$x < -3$

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3)$

в) $3x^2 - 6x < 8 - 6x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$3x^2 - 6x - 8 + 6x^2 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$9x^2 - 6x - 8 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 6x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8) = 36 + 288 = 324 = 18^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 18}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 18}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$

Парабола $y = 9x^2 - 6x - 8$ имеет ветви, направленные вверх ($a=9>0$). Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$

г) $5x^2 + 17x > 5x - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$5x^2 + 17x - 5x + 4 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + 12x + 4 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 12x + 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64 = 8^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$

Парабола $y = 5x^2 + 12x + 4$ имеет ветви, направленные вверх ($a=5>0$). Неравенство $> 0$ выполняется на промежутках вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{2}{5}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{2}{5}, +\infty)$

299 РАССУЖДАЕМ Составьте какое-нибудь квадратное неравенство:

а) решением которого является любое действительное число;

б) которое не имеет решений.

а) решением которого является любое действительное число;

Чтобы решением квадратного неравенства было любое действительное число, график соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться выше оси абсцисс (для знака $>$) или не ниже оси абсцисс (для знака $\ge$).

Рассмотрим случай, когда неравенство имеет вид $ax^2 + bx + c > 0$. Для того чтобы оно было верно для любого $x$, парабола $y = ax^2 + bx + c$ должна целиком располагаться в верхней полуплоскости. Это возможно при выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх, что означает $a > 0$.
2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс (и не касаться ее), что означает, что у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ нет действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен: $D < 0$.

Составим пример. Выберем простые коэффициенты, удовлетворяющие этим условиям. Пусть $a = 1$. Это удовлетворяет условию $a > 0$. Теперь подберем $b$ и $c$ так, чтобы $D < 0$. Возьмем $b = 0$. Условие $D < 0$ принимает вид $0^2 - 4 \cdot 1 \cdot c < 0$, что упрощается до $-4c < 0$, или $c > 0$. Возьмем простейшее значение $c$, удовлетворяющее этому условию, например, $c = 1$.

Таким образом, мы получаем неравенство $x^2 + 1 > 0$. Проверим его. Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2 \ge 0$. Прибавляя 1 к обеим частям, получаем $x^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, то неравенство $x^2 + 1 > 0$ действительно выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x^2 + 1 > 0$.

б) которое не имеет решений.

Квадратное неравенство не имеет решений, если оно ложно для любого действительного значения $x$. Рассмотрим неравенство вида $ax^2 + bx + c < 0$. Оно не будет иметь решений, если выражение $ax^2 + bx + c$ никогда не будет отрицательным, то есть если для всех $x$ выполняется $ax^2 + bx + c \ge 0$.

Как мы выяснили в пункте а), неравенство $ax^2 + bx + c \ge 0$ выполняется для всех $x$, если ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх ($a > 0$) и парабола не пересекает ось абсцисс ($D = b^2 - 4ac \le 0$).

Мы можем использовать те же коэффициенты, что и в предыдущем пункте: $a=1$, $b=0$, $c=1$. Для них $a > 0$ и $D = -4 < 0$. Соответствующая квадратичная функция $y = x^2 + 1$ принимает только положительные значения ($x^2 + 1 \ge 1$). Следовательно, неравенство $x^2 + 1 < 0$ никогда не выполняется, так как левая часть всегда больше или равна 1. Значит, это неравенство не имеет решений.

Ответ: $x^2 + 1 < 0$.

300 Найдите значения $x$, при которых:

a) значения функции $y = 3x^2 + 2x - 1$ меньше значений функции $y = x^2 - x + 1$;

б) значения функции $y = -4x^2 + x + 1$ больше значений функции $y = 2 - 4x$.

а)

Чтобы найти значения x, при которых значения функции $y = 3x^2 + 2x - 1$ меньше значений функции $y = x^2 - x + 1$, необходимо решить неравенство:

$3x^2 + 2x - 1 < x^2 - x + 1$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - x^2 + 2x + x - 1 - 1 < 0$

$2x^2 + 3x - 2 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Мы решаем неравенство $2x^2 + 3x - 2 < 0$. Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля). Следовательно, значения функции меньше нуля на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-2; \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-2; \frac{1}{2})$.

б)

Чтобы найти значения x, при которых значения функции $y = -4x^2 + x + 1$ больше значений функции $y = 2 - 4x$, необходимо решить неравенство:

$-4x^2 + x + 1 > 2 - 4x$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$-4x^2 + x + 4x + 1 - 2 > 0$

$-4x^2 + 5x - 1 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$4x^2 - 5x + 1 < 0$

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Мы решаем неравенство $4x^2 - 5x + 1 < 0$. Графиком функции $y = 4x^2 - 5x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 4, что больше нуля). Следовательно, значения функции меньше нуля на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(\frac{1}{4}; 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.

301 РАССУЖДАЕМ Решите неравенство:

а) $ \frac{100}{(x-5)(x-10)} > 0; $

б) $ \frac{1}{(2-x)(x+4)} \le 0; $

в) $ \frac{-20}{(1-x)(3-x)} < 0; $

г) $ \frac{-1}{(x+6)(x+7)} \ge 0. $

a)

Дано неравенство $ \frac{100}{(x-5)(x-10)} > 0 $.

Числитель дроби (100) является положительным числом. Для того чтобы вся дробь была положительной, ее знаменатель также должен быть положительным. Следовательно, мы должны решить неравенство:

$ (x-5)(x-10) > 0 $

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули выражения в левой части, решив уравнение $(x-5)(x-10) = 0$. Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = 10$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 5)$, $(5, 10)$ и $(10, \infty)$. Определим знак выражения $(x-5)(x-10)$ на каждом из этих интервалов.

- На интервале $(-\infty, 5)$ выражение положительно (например, при $x=0$, $(0-5)(0-10) = 50 > 0$).
- На интервале $(5, 10)$ выражение отрицательно (например, при $x=6$, $(6-5)(6-10) = -4 < 0$).
- На интервале $(10, \infty)$ выражение положительно (например, при $x=11$, $(11-5)(11-10) = 6 > 0$).

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Так как неравенство строгое, точки $x=5$ и $x=10$ (нули знаменателя) не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 5) \cup (10, \infty)$.

б)

Дано неравенство $ \frac{1}{(2-x)(x+4)} \le 0 $.

Числитель дроби (1) является положительным числом. Чтобы дробь была меньше или равна нулю, ее знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю для дроби невозможно, так как числитель не равен нулю). Таким образом, решаем неравенство:

$ (2-x)(x+4) < 0 $

Для удобства вынесем минус из первой скобки: $-(x-2)(x+4) < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ (x-2)(x+4) > 0 $

Найдем корни уравнения $(x-2)(x+4) = 0$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, 2)$ и $(2, \infty)$.

Определим знак выражения $(x-2)(x+4)$ на каждом интервале.

- На интервале $(-\infty, -4)$ выражение положительно.
- На интервале $(-4, 2)$ выражение отрицательно.
- На интервале $(2, \infty)$ выражение положительно.

Нас интересуют интервалы, где выражение $(x-2)(x+4)$ больше нуля. Точки $x=-4$ и $x=2$ не включаются в решение, так как они обращают знаменатель исходной дроби в ноль.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.

в)

Дано неравенство $ \frac{-20}{(1-x)(3-x)} < 0 $.

Числитель дроби (-20) является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была отрицательной, ее знаменатель должен быть положительным. Таким образом, решаем неравенство:

$ (1-x)(3-x) > 0 $

Преобразуем выражение, вынеся -1 из каждой скобки: $(-1)(x-1)(-1)(x-3) > 0$, что эквивалентно $(x-1)(x-3) > 0$.

Найдем корни уравнения $(x-1)(x-3) = 0$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, \infty)$.

Определим знак выражения $(x-1)(x-3)$ на каждом интервале.

- На интервале $(-\infty, 1)$ выражение положительно.
- На интервале $(1, 3)$ выражение отрицательно.
- На интервале $(3, \infty)$ выражение положительно.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Так как неравенство строгое, точки $x=1$ и $x=3$ не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

г)

Дано неравенство $ \frac{-1}{(x+6)(x+7)} \ge 0 $.

Числитель дроби (-1) является отрицательным числом. Чтобы дробь была больше или равна нулю, ее знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю для дроби невозможно). Таким образом, решаем неравенство:

$ (x+6)(x+7) < 0 $

Найдем корни уравнения $(x+6)(x+7) = 0$. Корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = -7$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -7)$, $(-7, -6)$ и $(-6, \infty)$.

Определим знак выражения $(x+6)(x+7)$ на каждом интервале.

- На интервале $(-\infty, -7)$ выражение положительно.
- На интервале $(-7, -6)$ выражение отрицательно.
- На интервале $(-6, \infty)$ выражение положительно.

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля. Точки $x=-7$ и $x=-6$ не включаются в решение, так как они обращают знаменатель исходной дроби в ноль.

Ответ: $x \in (-7, -6)$.

302 a) Найдите положительные решения неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0.$

б) Найдите отрицательные решения неравенства $x^2 - 2x - 1 > 0.$

а) Чтобы найти решения неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Итак, корни уравнения: $x_1 = -1 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{3}$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции меньше нуля находятся между корнями.

Решением неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0$ является интервал $x \in (-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3})$.

По условию задачи, нам нужно найти только положительные решения, то есть решения, удовлетворяющие условию $x > 0$. Найдем пересечение полученного интервала с промежутком $(0; +\infty)$:

$(-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3}) \cap (0; +\infty)$.

Оценим значения корней: $x_1 = -1 - \sqrt{3} \approx -2.73$ (это отрицательное число), $x_2 = -1 + \sqrt{3} \approx 0.73$ (это положительное число). Таким образом, пересечением является интервал $(0; -1 + \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (0; \sqrt{3}-1)$.

б) Чтобы найти решения неравенства $x^2 - 2x - 1 > 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Итак, корни уравнения: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, значения функции больше нуля находятся вне интервала между корнями.

Решением неравенства $x^2 - 2x - 1 > 0$ является объединение интервалов $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}; +\infty)$.

По условию задачи, нам нужно найти только отрицательные решения, то есть решения, удовлетворяющие условию $x < 0$. Найдем пересечение полученного множества с промежутком $(-\infty; 0)$:

$\left( (-\infty; 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}; +\infty) \right) \cap (-\infty; 0)$.

Рассмотрим пересечение для каждого интервала отдельно:

1) $(-\infty; 1 - \sqrt{2}) \cap (-\infty; 0)$. Так как $1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.41 = -0.41$, то $1 - \sqrt{2} < 0$. Следовательно, пересечением является интервал $(-\infty; 1 - \sqrt{2})$.

2) $(1 + \sqrt{2}; +\infty) \cap (-\infty; 0)$. Так как $1 + \sqrt{2} > 0$, данный интервал содержит только положительные числа, и его пересечение с интервалом отрицательных чисел пусто.

Объединив результаты, получаем, что отрицательные решения неравенства лежат в интервале $(-\infty; 1 - \sqrt{2})$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1-\sqrt{2})$.

303 a) Найдите решения неравенства $5x^2 \ge 4x + 1$, принадлежащие промежутку $[-2; 2]$.

b) Найдите решения неравенства $5x - 1 > 4x^2$, принадлежащие промежутку $[\frac{1}{3}; \frac{3}{2}]$.

а)

Для начала решим квадратное неравенство $5x^2 \ge 4x + 1$. Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид:

$5x^2 - 4x - 1 \ge 0$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=5>0$), ветви параболы $y = 5x^2 - 4x - 1$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $5x^2 - 4x - 1 \ge 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится на оси абсцисс или выше неё. Это происходит при $x \le x_1$ и $x \ge x_2$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -0.2] \cup [1; +\infty)$.

Теперь необходимо найти решения, принадлежащие промежутку $[-2; 2]$. Для этого найдем пересечение множества решений неравенства с заданным промежутком:

$( (-\infty; -0.2] \cup [1; +\infty) ) \cap [-2; 2]$

Пересечение $[-2; 2]$ с $(-\infty; -0.2]$ дает промежуток $[-2; -0.2]$.

Пересечение $[-2; 2]$ с $[1; +\infty)$ дает промежуток $[1; 2]$.

Объединив эти два промежутка, получаем окончательное решение.

Ответ: $[-2; -0.2] \cup [1; 2]$.

б)

Рассмотрим неравенство $5x - 1 > 4x^2$. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:

$4x^2 - 5x + 1 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Ветви параболы $y = 4x^2 - 5x + 1$ направлены вверх ($a=4>0$). Неравенство $4x^2 - 5x + 1 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси абсцисс, то есть строго между корнями.

Решение неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.

Теперь найдем решения, принадлежащие промежутку $[\frac{1}{3}; \frac{3}{2}]$. Для этого найдем пересечение полученного интервала с заданным отрезком:

$(\frac{1}{4}; 1) \cap [\frac{1}{3}; \frac{3}{2}]$

Так как $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$ и $1 < \frac{3}{2}$, то пересечением этих двух множеств будет промежуток от $\frac{1}{3}$ (включительно) до $1$ (не включительно).

Ответ: $[\frac{1}{3}; 1)$.