Номер 300, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 300, страница 119.

300 Найдите значения $x$, при которых:

a) значения функции $y = 3x^2 + 2x - 1$ меньше значений функции $y = x^2 - x + 1$;

б) значения функции $y = -4x^2 + x + 1$ больше значений функции $y = 2 - 4x$.

а)

Чтобы найти значения x, при которых значения функции $y = 3x^2 + 2x - 1$ меньше значений функции $y = x^2 - x + 1$, необходимо решить неравенство:

$3x^2 + 2x - 1 < x^2 - x + 1$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - x^2 + 2x + x - 1 - 1 < 0$

$2x^2 + 3x - 2 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Мы решаем неравенство $2x^2 + 3x - 2 < 0$. Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля). Следовательно, значения функции меньше нуля на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-2; \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-2; \frac{1}{2})$.

б)

Чтобы найти значения x, при которых значения функции $y = -4x^2 + x + 1$ больше значений функции $y = 2 - 4x$, необходимо решить неравенство:

$-4x^2 + x + 1 > 2 - 4x$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$-4x^2 + x + 4x + 1 - 2 > 0$

$-4x^2 + 5x - 1 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$4x^2 - 5x + 1 < 0$

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Мы решаем неравенство $4x^2 - 5x + 1 < 0$. Графиком функции $y = 4x^2 - 5x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 4, что больше нуля). Следовательно, значения функции меньше нуля на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(\frac{1}{4}; 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.