Номер 293, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 293, страница 118.

293 а) $x^2 < 25;$

б) $x^2 \ge \frac{1}{4};$

в) $-2x^2 < -18;$

г) $x^2 + 1 \ge 5;$

д) $x^2 \le x;$

е) $2x > x^2;$

ж) $x < x^2;$

з) $0,5x^2 > -3x;$

и) $9 \le x^2;$

к) $\frac{1}{2}x^2 < 50;$

л) $-x^2 \ge -100;$

м) $6,4 > 0,1x^2.$

а) $x^2 < 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить $x^2 - 25 < 0$.

Рассмотрим соответствующее уравнение $x^2 - 25 = 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-5)(x+5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Поскольку неравенство имеет вид $x^2 - 25 < 0$, а ветви параболы $y = x^2 - 25$ направлены вверх, решением является интервал между корнями.

Таким образом, $x$ должен быть в интервале $(-5; 5)$.

Ответ: $x \in (-5; 5)$.

б) $x^2 \geq \frac{1}{4}$

Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - \frac{1}{4} \geq 0$.

Решим уравнение $x^2 - \frac{1}{4} = 0$. Разложим на множители: $(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - \frac{1}{4}$ направлены вверх. Неравенство $\geq 0$ выполняется на интервалах, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, $x \leq -\frac{1}{2}$ или $x \geq \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5] \cup [0,5; +\infty)$.

в) $-2x^2 < -18$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x^2 > 9$.

Перенесем 9 в левую часть: $x^2 - 9 > 0$.

Решим уравнение $x^2 - 9 = 0$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на интервалах вне корней.

Следовательно, $x < -3$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

г) $x^2 + 1 \geq 5$

Перенесем 5 в левую часть: $x^2 + 1 - 5 \geq 0$, что упрощается до $x^2 - 4 \geq 0$.

Решим уравнение $x^2 - 4 = 0$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх. Неравенство $\geq 0$ выполняется на интервалах вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, $x \leq -2$ или $x \geq 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

д) $x^2 \leq x$

Перенесем $x$ в левую часть: $x^2 - x \leq 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 1) \leq 0$.

Корни уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх. Неравенство $\leq 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, $0 \leq x \leq 1$.

Ответ: $x \in [0; 1]$.

е) $2x > x^2$

Перенесем все члены в одну сторону: $0 > x^2 - 2x$, или $x^2 - 2x < 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 2) < 0$.

Корни уравнения $x(x - 2) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - 2x$ направлены вверх. Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

ж) $x < x^2$

Перенесем все члены в одну сторону: $0 < x^2 - x$, или $x^2 - x > 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 1) > 0$.

Корни уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на интервалах вне корней.

Следовательно, $x < 0$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

з) $0,5x^2 > -3x$

Перенесем $-3x$ в левую часть: $0,5x^2 + 3x > 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(0,5x + 3) > 0$.

Корни уравнения $x(0,5x + 3) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.

Ветви параболы $y = 0,5x^2 + 3x$ направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на интервалах вне корней.

Следовательно, $x < -6$ или $x > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$.

и) $9 \leq x^2$

Это неравенство эквивалентно $x^2 \geq 9$.

Перенесем 9 в левую часть: $x^2 - 9 \geq 0$.

Корни уравнения $x^2 - 9 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх. Неравенство $\geq 0$ выполняется на интервалах вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, $x \leq -3$ или $x \geq 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

к) $\frac{1}{2}x^2 < 50$

Умножим обе части на 2: $x^2 < 100$.

Перенесем 100 в левую часть: $x^2 - 100 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 100 = 0$ равны $x_1 = -10$ и $x_2 = 10$.

Ветви параболы $y = x^2 - 100$ направлены вверх. Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, $-10 < x < 10$.

Ответ: $x \in (-10; 10)$.

л) $-x^2 \geq -100$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 \leq 100$.

Перенесем 100 в левую часть: $x^2 - 100 \leq 0$.

Корни уравнения $x^2 - 100 = 0$ равны $x_1 = -10$ и $x_2 = 10$.

Ветви параболы $y = x^2 - 100$ направлены вверх. Неравенство $\leq 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, $-10 \leq x \leq 10$.

Ответ: $x \in [-10; 10]$.

м) $6,4 > 0,1x^2$

Это неравенство эквивалентно $0,1x^2 < 6,4$.

Умножим обе части на 10: $x^2 < 64$.

Перенесем 64 в левую часть: $x^2 - 64 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 64 = 0$ равны $x_1 = -8$ и $x_2 = 8$.

Ветви параболы $y = x^2 - 64$ направлены вверх. Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, $-8 < x < 8$.

Ответ: $x \in (-8; 8)$.