Номер 291, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 291, страница 118.

291 a) $4 - x^2 > 0;$

б) $-x^2 + 6x + 7 > 0;$

в) $1 - x^2 < 0;$

г) $2x^2 - 4x + 2 \ge 0;$

д) $-2x^2 + 10x - 8 \le 0;$

е) $-4x^2 + 2x \ge 0.$

а) Для решения квадратичного неравенства $4 - x^2 > 0$ сначала найдем корни соответствующего уравнения $4 - x^2 = 0$.
Это уравнение эквивалентно $x^2 = 4$, откуда получаем два корня: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Далее рассмотрим функцию $y = 4 - x^2$. Ее графиком является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз.
Неравенство $y > 0$ выполняется на том промежутке, где график функции находится выше оси абсцисс (оси Ox). Для параболы с ветвями вниз это интервал между корнями.
Так как неравенство строгое ($>$), сами корни в решение не входят.
Следовательно, решением является интервал от -2 до 2.
Ответ: $x \in (-2, 2)$.

б) Решим неравенство $-x^2 + 6x + 7 > 0$.
Для удобства умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства меняется на противоположный: $x^2 - 6x - 7 < 0$.
Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$.
$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$, $x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).
Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.
Поскольку неравенство строгое, концы интервала не включаются.
Ответ: $x \in (-1, 7)$.

в) Решим неравенство $1 - x^2 < 0$.
Найдем корни уравнения $1 - x^2 = 0$, откуда $x^2 = 1$, и $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
Графиком функции $y = 1 - x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз.
Неравенство $y < 0$ истинно для тех $x$, при которых график параболы расположен ниже оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.
Неравенство строгое, поэтому значения $x = -1$ и $x = 1$ не являются решениями.
Таким образом, решение: $x < -1$ или $x > 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

г) Решим неравенство $2x^2 - 4x + 2 \ge 0$.
Разделим обе части неравенства на 2, чтобы упростить его: $x^2 - 2x + 1 \ge 0$.
Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом: $(x-1)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю.
Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

д) Решим неравенство $-2x^2 + 10x - 8 \le 0$.
Разделим обе части на -2, не забыв изменить знак неравенства на противоположный: $x^2 - 5x + 4 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола с ветвями вверх.
Неравенство $y \ge 0$ выполняется там, где парабола находится выше или на оси Ox. Это происходит при $x \le 1$ и при $x \ge 4$.
Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

е) Решим неравенство $-4x^2 + 2x \ge 0$.
Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства: $2x^2 - x \le 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(2x - 1) \le 0$.
Найдем корни уравнения $x(2x - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 0.5$.
Графиком функции $y = 2x^2 - x$ является парабола с ветвями вверх.
Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, где парабола находится ниже или на оси Ox.
Неравенство нестрогое, поэтому концы отрезка включаются в решение.
Таким образом, решение: $0 \le x \le 0.5$.
Ответ: $x \in [0, 0.5]$.