Номер 288, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 288, страница 114.

288 Исследуем

Исследуйте, как влияет на график изменение одного из коэффициентов a, b и c в уравнении параболы. Для этого:

1) в одной системе координат начертите параболы $y=x^2-4x+c$ для $c=0; 1; 2; 4$ и $c=-1; -2; -4;$

2) в одной системе координат начертите параболы $y=x^2+bx+4$ для $b=0; 1; 4; 5$ и $b=-1; -4; -5;$

3) в одной системе координат начертите параболы $y=ax^2+4x-5$ для $a=\frac{1}{2}; 1; 2; 3.$

Исследуем влияние каждого из коэффициентов $a, b, c$ в уравнении параболы $y = ax^2 + bx + c$ на ее график.

1)

Рассмотрим семейство парабол, заданных уравнением $y = x^2 - 4x + c$. В данном случае коэффициенты $a=1$ и $b=-4$ являются постоянными, изменяется только свободный член $c$.

Форма и направление ветвей параболы определяются коэффициентом $a$. Так как $a=1$ для всех графиков, все параболы будут иметь одинаковую форму и их ветви будут направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_v = (2)^2 - 4(2) + c = 4 - 8 + c = c - 4$.

Координаты вершины: $(2, c-4)$.

Абсцисса вершины $x_v=2$ не зависит от $c$, это означает, что ось симметрии для всех парабол этого семейства одна и та же — прямая $x=2$. Ордината вершины $y_v = c-4$ зависит от $c$.

Коэффициент $c$ также является ординатой точки пересечения графика с осью $Oy$, так как при $x=0$, $y=c$.

Таким образом, изменение коэффициента $c$ приводит к сдвигу (параллельному переносу) параболы $y = x^2 - 4x$ вдоль оси ординат $Oy$. Если $c$ увеличивается, парабола сдвигается вверх. Если $c$ уменьшается, парабола сдвигается вниз.

Например:

• При $c=0$, $y = x^2 - 4x$, вершина в точке $(2, -4)$.
• При $c=4$, $y = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$, вершина в точке $(2, 0)$. График смещен на 4 единицы вверх по сравнению с $c=0$.
• При $c=-1$, $y = x^2 - 4x - 1$, вершина в точке $(2, -5)$. График смещен на 1 единицу вниз по сравнению с $c=0$.

Все параболы этого семейства получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси $Oy$.

Ответ: Коэффициент $c$ отвечает за вертикальное смещение графика параболы. Изменение $c$ сдвигает параболу вверх или вниз вдоль ее оси симметрии, не меняя ее формы и направления ветвей. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, c)$.

2)

Рассмотрим семейство парабол, заданных уравнением $y = x^2 + bx + 4$. Здесь коэффициенты $a=1$ и $c=4$ постоянны, а изменяется коэффициент $b$.

Так как $a=1$ для всех парабол, они имеют одинаковую форму и их ветви направлены вверх. Так как $c=4$ для всех парабол, все они пересекают ось $Oy$ в одной и той же точке $(0, 4)$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{b}{2 \cdot 1} = -\frac{b}{2}$.

$y_v = (-\frac{b}{2})^2 + b(-\frac{b}{2}) + 4 = \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{2} + 4 = 4 - \frac{b^2}{4}$.

Координаты вершины: $(-\frac{b}{2}, 4 - \frac{b^2}{4})$.

В отличие от предыдущего случая, обе координаты вершины зависят от $b$. Это означает, что при изменении $b$ парабола смещается как по горизонтали, так и по вертикали. Ось симметрии $x = -b/2$ также смещается.

Найдем зависимость между координатами вершины. Пусть $x = x_v = -b/2$ и $y = y_v = 4 - b^2/4$. Из первого уравнения выразим $b = -2x$ и подставим во второе: $y = 4 - \frac{(-2x)^2}{4} = 4 - \frac{4x^2}{4} = 4 - x^2$.

Это означает, что вершины всех парабол данного семейства лежат на параболе $y = -x^2 + 4$.

Ответ: Коэффициент $b$ влияет на положение вершины параболы. При изменении $b$ парабола, не меняя своей формы и точки пересечения с осью $Oy$, "скользит" своей вершиной по параболе $y = -x^2 + 4$. Изменение $b$ приводит к смещению оси симметрии параболы.

3)

Рассмотрим семейство парабол, заданных уравнением $y = ax^2 + 4x - 5$. Здесь коэффициенты $b=4$ и $c=-5$ постоянны, а изменяется старший коэффициент $a$.

Коэффициент $a$ определяет форму параболы (ее "ширину") и направление ветвей. Поскольку в задании даны только положительные значения $a$ ($1/2, 1, 2, 3$), все параболы будут иметь ветви, направленные вверх.

• Чем больше значение $a$, тем "уже" и "круче" становится парабола (происходит ее растяжение вдоль оси $Oy$).
• Чем меньше значение $a$ (ближе к нулю), тем "шире" и "положе" становится парабола (происходит ее сжатие к оси $Ox$).

Поскольку $c=-5$ для всех парабол, все они пересекают ось $Oy$ в одной и той же точке $(0, -5)$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2a} = -\frac{2}{a}$.

$y_v = a(-\frac{2}{a})^2 + 4(-\frac{2}{a}) - 5 = a(\frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a} - 5 = \frac{4}{a} - \frac{8}{a} - 5 = -\frac{4}{a} - 5$.

Координаты вершины: $(-\frac{2}{a}, -\frac{4}{a} - 5)$.

Обе координаты вершины зависят от $a$. Найдем траекторию движения вершины. Пусть $x = x_v = -2/a$ и $y = y_v = -4/a - 5$. Из первого уравнения $1/a = -x/2$. Подставим во второе: $y = -4(-x/2) - 5 = 2x - 5$.

Это означает, что вершины всех парабол данного семейства лежат на прямой $y = 2x - 5$.

Ответ: Коэффициент $a$ определяет форму ("ширину") и направление ветвей параболы. При $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз. Чем больше $|a|$, тем парабола "уже". Все параболы семейства $y = ax^2 + 4x - 5$ проходят через точку $(0, -5)$, а их вершины лежат на прямой $y=2x-5$.