Номер 289, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 289, страница 118.

289 Вычислите абсциссы точек пересечения параболы с осью $x$, изобразите параболу схематически и отметьте на оси $x$ значения аргумента, при которых $y = 0; y < 0; y > 0:$

а) $y = x^2 - 1;$

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2;$

в) $y = x^2 + 4x - 5;$

г) $y = x^2 - 6x + 5;$

д) $y = x^2 - 5x + 6;$

е) $y = -x^2 + x + 2.$

В каждом случае проверьте себя, подставив в формулу какое-нибудь значение $x$ из найденного множества.

а) $y = x^2 - 1$

Для вычисления абсцисс точек пересечения параболы с осью $x$, необходимо решить уравнение $y=0$.
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Это парабола, заданная уравнением $y=ax^2+bx+c$, где $a=1$, $b=0$, $c=-1$. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = 0$; $y_v = 0^2 - 1 = -1$. Вершина находится в точке $(0, -1)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=-1$ и $x=1$.

Исходя из расположения параболы, отметим значения аргумента, при которых $y=0; y<0; y>0$:
$y = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$.
$y < 0$ (парабола ниже оси $x$) при $x \in (-1, 1)$.
$y > 0$ (парабола выше оси $x$) при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Проверим себя, подставив значение $x=2$ из множества, где $y>0$:
$y(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Поскольку $3>0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: -1, 1. $y=0$ при $x \in \{-1, 1\}$; $y<0$ при $x \in (-1, 1)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$

Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$, решив уравнение $y=0$:
$-\frac{1}{2}x^2 + 2 = 0$
$\frac{1}{2}x^2 = 2$
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Это парабола с коэффициентом $a = -\frac{1}{2} < 0$, поэтому ее ветви направлены вниз. Координаты вершины: $x_v = -\frac{0}{2 \cdot (-1/2)} = 0$; $y_v = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 2$. Вершина в точке $(0, 2)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=-2$ и $x=2$.

Отметим значения аргумента:
$y = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
$y > 0$ при $x \in (-2, 2)$.

Проверка: подставим $x=0$ из множества, где $y>0$:
$y(0) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 2$. Поскольку $2>0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: -2, 2. $y=0$ при $x \in \{-2, 2\}$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$; $y>0$ при $x \in (-2, 2)$.

в) $y = x^2 + 4x - 5$

Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$ ($y=0$):
$x^2 + 4x - 5 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Координаты вершины: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$; $y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$. Вершина в точке $(-2, -9)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(-2, -9)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=-5$ и $x=1$.

Отметим значения аргумента:
$y = 0$ при $x = -5$ и $x = 1$.
$y < 0$ при $x \in (-5, 1)$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

Проверка: подставим $x=0$ из множества, где $y<0$:
$y(0) = 0^2 + 4(0) - 5 = -5$. Поскольку $-5<0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: -5, 1. $y=0$ при $x \in \{-5, 1\}$; $y<0$ при $x \in (-5, 1)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

г) $y = x^2 - 6x + 5$

Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$ ($y=0$):
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Координаты вершины: $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$; $y_v = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Вершина в точке $(3, -4)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(3, -4)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=1$ и $x=5$.

Отметим значения аргумента:
$y = 0$ при $x = 1$ и $x = 5$.
$y < 0$ при $x \in (1, 5)$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

Проверка: подставим $x=2$ из множества, где $y<0$:
$y(2) = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$. Поскольку $-3<0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: 1, 5. $y=0$ при $x \in \{1, 5\}$; $y<0$ при $x \in (1, 5)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

д) $y = x^2 - 5x + 6$

Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$ ($y=0$):
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Координаты вершины: $x_v = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$; $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$. Вершина в точке $(2.5, -0.25)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(2.5, -0.25)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=2$ и $x=3$.

Отметим значения аргумента:
$y = 0$ при $x = 2$ и $x = 3$.
$y < 0$ при $x \in (2, 3)$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Проверка: подставим $x=0$ из множества, где $y>0$:
$y(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$. Поскольку $6>0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: 2, 3. $y=0$ при $x \in \{2, 3\}$; $y<0$ при $x \in (2, 3)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

е) $y = -x^2 + x + 2$

Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$ ($y=0$):
$-x^2 + x + 2 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы направлены вниз ($a=-1<0$). Координаты вершины: $x_v = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = 0.5$; $y_v = -(0.5)^2 + 0.5 + 2 = -0.25 + 0.5 + 2 = 2.25$. Вершина в точке $(0.5, 2.25)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(0.5, 2.25)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=-1$ и $x=2$.

Отметим значения аргумента:
$y = 0$ при $x = -1$ и $x = 2$.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.
$y > 0$ при $x \in (-1, 2)$.

Проверка: подставим $x=3$ из множества, где $y<0$:
$y(3) = -(3)^2 + 3 + 2 = -9 + 3 + 2 = -4$. Поскольку $-4<0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: -1, 2. $y=0$ при $x \in \{-1, 2\}$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$; $y>0$ при $x \in (-1, 2)$.