Номер 285, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 285, страница 113.

В задачах 285—286 воспользуйтесь схематическими графиками.

285 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Футболист на тренировке подбрасывает мяч ногой вертикально вверх с начальной скоростью 15 м/с. На какую максимальную высоту поднимется мяч?

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (286—287)

285 Практическая ситуация

Высота $h$ (в метрах), на которой находится подброшенный мяч, зависит от времени $t$ (в секундах) и может быть описана формулой из физики: $h(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2}$, где $v_0$ – начальная скорость, а $g$ – ускорение свободного падения, примерно равное $10$ м/с².

Подставим данные из условия задачи: $v_0 = 15$ м/с.
Функция зависимости высоты от времени примет вид:
$h(t) = 15t - \frac{10t^2}{2} = 15t - 5t^2$.

Это квадратичная функция $h(t) = -5t^2 + 15t$, графиком которой является парабола. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($a = -5$), ветви параболы направлены вниз. Максимальное значение функции (максимальная высота) достигается в вершине параболы.

Найдем время $t_в$, в которое достигается максимальная высота, по формуле абсциссы вершины параболы $t_в = -\frac{b}{2a}$:
$t_в = -\frac{15}{2 \cdot (-5)} = -\frac{15}{-10} = 1.5$ с.

Теперь найдем максимальную высоту, подставив значение $t_в = 1.5$ в функцию высоты:
$h_{макс} = h(1.5) = 15 \cdot 1.5 - 5 \cdot (1.5)^2 = 22.5 - 5 \cdot 2.25 = 22.5 - 11.25 = 11.25$ м.

Ответ: мяч поднимется на максимальную высоту 11,25 м.

286 Применяем алгебру

Пусть $x$ (см) – длина основания прямоугольника. Обозначим вторую сторону прямоугольника через $y$ (см).
Периметр прямоугольника $P$ равен $2(x+y)$. По условию, $P = 16$ см.
$2(x+y) = 16$
$x+y = 8$
Отсюда выразим сторону $y$: $y = 8-x$.

Площадь прямоугольника $S$ является функцией от длины его основания $x$ и вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Подставив выражение для $y$, получим:
$S(x) = x(8-x) = 8x - x^2$.
Таким образом, мы задали функцию площади формулой $S(x) = -x^2 + 8x$.

Чтобы найти, при каком значении $x$ функция принимает наибольшее значение, проанализируем её. $S(x) = -x^2 + 8x$ – это квадратичная функция, график которой – парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Наибольшее значение функция принимает в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы $x_в$ по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:
$x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.
Таким образом, функция площади принимает наибольшее значение при $x = 4$ см.

Геометрическое истолкование:
Если длина основания $x = 4$ см, то длина второй стороны $y = 8 - x = 8 - 4 = 4$ см.
Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом. Следовательно, из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат со стороной 4 см.

Ответ: функция задается формулой $S(x) = -x^2 + 8x$; наибольшее значение функция принимает при $x = 4$; геометрическое истолкование состоит в том, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.