Номер 290, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 290, страница 118.

290 a) $x^2 + 4x - 21 < 0;$

б) $x^2 - 4x - 21 > 0;$

в) $x^2 + 10x > 0;$

г) $x^2 - 9 < 0;$

д) $x^2 - 1 > 0;$

е) $x^2 - 4x - 12 < 0.$

а) Решим неравенство $x^2 + 4x - 21 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -7$ и $x = 3$.

Неравенство $x^2 + 4x - 21 < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-7; 3)$.

Ответ: $(-7; 3)$.

б) Решим неравенство $x^2 - 4x - 21 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = 7$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 21$ направлены вверх ($a=1 > 0$), она пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 7$.

Неравенство $x^2 - 4x - 21 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (7; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (7; \infty)$.

в) Решим неравенство $x^2 + 10x > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 10x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 10) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -10$.

Ветви параболы $y = x^2 + 10x$ направлены вверх ($a=1 > 0$), она пересекает ось Ox в точках $x = -10$ и $x = 0$.

Неравенство $x^2 + 10x > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -10) \cup (0; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -10) \cup (0; \infty)$.

г) Решим неравенство $x^2 - 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9 = 0$.

Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх ($a=1 > 0$), она пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 3$.

Неравенство $x^2 - 9 < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-3; 3)$.

Ответ: $(-3; 3)$.

д) Решим неравенство $x^2 - 1 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 1 = 0$.

Разложим на множители: $(x - 1)(x + 1) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 - 1$ направлены вверх ($a=1 > 0$), она пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 1$.

Неравенство $x^2 - 1 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

е) Решим неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 12$ направлены вверх ($a=1 > 0$), она пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 6$.

Неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-2; 6)$.

Ответ: $(-2; 6)$.