Номер 287, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 287, страница 114.

287 Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 8. Задайте формулой зависимость площади $S$ прямоугольного треугольника от длины катета $x$ (рис. 2.40). Определите, при каком значении $x$ треугольник имеет наибольшую площадь. Дайте геометрическое истолкование вашего ответа.

$8 - x$

$x$

Рис. 2.40

Задайте формулой зависимость площади S прямоугольного треугольника от длины катета x

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. По условию задачи, их сумма равна 8: $a + b = 8$.

Обозначим длину одного катета через $x$. Исходя из рисунка и условия, один катет равен $x$, а второй $8 - x$. Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

Подставив выражения для катетов, получим зависимость площади $S$ от $x$: $S(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (8 - x)$.

Так как длина катета должна быть положительной величиной, то $x > 0$ и $8 - x > 0$, что означает $x < 8$. Таким образом, область определения для $x$ есть интервал $(0; 8)$.

Ответ: $S(x) = \frac{1}{2}x(8-x)$, где $0 < x < 8$.

Определите, при каком значении x треугольник имеет наибольшую площадь

Функция площади $S(x) = \frac{1}{2}x(8-x) = 4x - \frac{1}{2}x^2$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$, что меньше нуля).

Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы. Абсциссу вершины $x_0$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, где в нашем случае $a = -\frac{1}{2}$ и $b = 4$. $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{4}{-1} = 4$.

Значение $x=4$ входит в область определения $(0; 8)$. Таким образом, при $x=4$ площадь треугольника достигает своего максимума. Наибольшая площадь равна: $S_{max} = S(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (8 - 4) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Ответ: треугольник имеет наибольшую площадь при $x=4$.

Дайте геометрическое истолкование вашего ответа

Мы установили, что площадь треугольника максимальна, когда один из катетов $x=4$. Найдем длину второго катета: $8 - x = 8 - 4 = 4$.

Оба катета равны 4. Это означает, что прямоугольный треугольник с наибольшей площадью является равнобедренным. Таким образом, геометрический смысл результата заключается в том, что из всех прямоугольных треугольников с одинаковой суммой катетов наибольшую площадь имеет тот, у которого катеты равны, то есть равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: из всех прямоугольных треугольников с заданной суммой катетов наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.