Номер 282, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 282, страница 113.

282 Определите значения $p$ и $q$, при которых вершина параболы

$y = x^2 + px + q$ находится в точке:

a) A(-3; 4);

б) B(1; 5).

Для нахождения значений $p$ и $q$ воспользуемся формулой для координат вершины параболы. Для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, абсцисса вершины $x_в$ вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае уравнение имеет вид $y = x^2 + px + q$, поэтому коэффициенты равны $a=1$ и $b=p$. Следовательно, формула для абсциссы вершины:

$x_в = -\frac{p}{2}$

Зная абсциссу вершины, мы можем найти $p$. Затем, подставив координаты вершины $(x_в, y_в)$ и найденное значение $p$ в исходное уравнение параболы, мы можем найти $q$.

а)

Вершина параболы находится в точке A(-3; 4), следовательно $x_в = -3$ и $y_в = 4$.

Найдем $p$ из формулы для абсциссы вершины:

$-3 = -\frac{p}{2}$

Отсюда, умножая обе части на -2, получаем:

$p = 6$

Теперь подставим координаты точки A(-3; 4) и значение $p=6$ в уравнение параболы $y = x^2 + px + q$, чтобы найти $q$:

$4 = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + q$

$4 = 9 - 18 + q$

$4 = -9 + q$

$q = 4 + 9 = 13$

Ответ: $p=6, q=13$.

б)

Вершина параболы находится в точке B(1; 5), следовательно $x_в = 1$ и $y_в = 5$.

Найдем $p$ из формулы для абсциссы вершины:

$1 = -\frac{p}{2}$

Отсюда, умножая обе части на -2, получаем:

$p = -2$

Теперь подставим координаты точки B(1; 5) и значение $p=-2$ в уравнение параболы $y = x^2 + px + q$, чтобы найти $q$:

$5 = (1)^2 + (-2) \cdot 1 + q$

$5 = 1 - 2 + q$

$5 = -1 + q$

$q = 5 + 1 = 6$

Ответ: $p=-2, q=6$.