Номер 277, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 277, страница 112.

277 Футболист на тренировке подбросил головой мяч вертикально вверх, придав ему начальную скорость 10 м/с.

1) Запишите уравнение, описывающее высоту, на которой находится мяч, в зависимости от времени полёта (рост футболиста считайте равным 2 м).

Уравнение: $h(t) = 2 + 10t - 5t^2$

2) Начертите график зависимости высоты от времени.

3) Определите по графику:

а) на какую максимальную высоту поднимется мяч;

б) через сколько примерно времени мяч окажется на максимальной высоте;

в) когда скорость полёта мяча больше: в начале или в конце первой секунды движения;

г) через сколько примерно секунд мяч упадёт на землю.

В задачах 278–279 воспользуйтесь формулой площади круга $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга, $\pi \approx 3$.

1) Запишите уравнение, описывающее высоту, на которой находится мяч, в зависимости от времени полёта (рост футболиста считайте равным 2 м).

Движение мяча, брошенного вертикально вверх, описывается уравнением равноускоренного движения. Высота $h$ мяча над землей в момент времени $t$ определяется формулой: $h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{gt^2}{2}$, где $h_0$ — начальная высота, $v_0$ — начальная скорость, а $g$ — ускорение свободного падения.

По условию задачи дано:

Начальная высота $h_0$ равна росту футболиста, то есть $h_0 = 2$ м.

Начальная скорость $v_0 = 10$ м/с.

Для упрощения расчетов примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$h(t) = 2 + 10t - \frac{10 \cdot t^2}{2}$

Упростив выражение, получаем искомое уравнение:

$h(t) = -5t^2 + 10t + 2$

Ответ: Уравнение, описывающее высоту, на которой находится мяч, в зависимости от времени полёта: $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$.

2) Начертите график зависимости высоты от времени.

Графиком зависимости высоты от времени $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика найдем ключевые точки:

Вершина параболы (точка максимальной высоты): время достижения $t_{в} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-5)} = 1$ с; максимальная высота $h(1) = -5(1)^2 + 10(1) + 2 = 7$ м. Координаты вершины: $(1; 7)$.

Точка старта (начальный момент времени): при $t=0$ с, высота $h(0) = 2$ м. Координаты точки: $(0; 2)$.

Точка падения на землю: высота $h(t) = 0$. Решим квадратное уравнение $-5t^2 + 10t + 2 = 0$. Физический смысл имеет только положительный корень: $t = \frac{-10 - \sqrt{10^2 - 4(-5)(2)}}{2(-5)} = 1 + \frac{\sqrt{140}}{10} \approx 1 + \frac{11.83}{10} \approx 2.18$ с. Координаты точки: $(\approx 2.18; 0)$.

График зависимости высоты от времени представлен ниже.

Ответ: График зависимости высоты от времени — парабола, изображенная выше.

3) Определите по графику:

а) на какую максимальную высоту поднимется мяч;

По графику видно, что максимальная высота соответствует вершине параболы. Ордината (значение по оси h) вершины равна 7.

Ответ: Максимальная высота, на которую поднимется мяч, составляет 7 м.

б) через сколько примерно времени мяч окажется на максимальной высоте;

Время, через которое мяч окажется на максимальной высоте, соответствует абсциссе (значение по оси t) вершины параболы.

Ответ: Мяч окажется на максимальной высоте через 1 секунду.

в) когда скорость полёта мяча больше: в начале или в конце первой секунды движения;

Скорость полета мяча графически представляется как крутизна (тангенс угла наклона касательной) графика в каждой точке. В начале движения, при $t=0$, график имеет наибольшую крутизну, что соответствует максимальной начальной скорости ($10$ м/с). В конце первой секунды, при $t=1$, мяч достигает вершины траектории, где его скорость на мгновение становится равной нулю, а касательная к графику — горизонтальна (нулевой наклон).

Ответ: Скорость полета мяча больше в начале движения.

г) через сколько примерно секунд мяч упадёт на землю.

Мяч упадёт на землю, когда его высота станет равной нулю, то есть $h=0$. На графике это точка пересечения параболы с горизонтальной осью времени $t$.

Ответ: По графику видно, что мяч упадёт на землю примерно через 2.2 секунды.