Номер 272, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 272, страница 110.

272 В одной системе координат постройте графики функций и укажите координаты их точек пересечения. Проверьте результат подстановкой:

а) $y = x^2 - 4$ и $y = 2 - x$;

б) $y = x^2 + 4x + 3$ и $y = x + 3$;

в) $y = 9 - x^2$ и $y + x = 7$;

г) $y = 2x - x^2$ и $x + y = 0$.

а) $y = x^2 - 4$ и $y = 2 - x$

1. Построим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$; $y_0 = 0^2 - 4 = -4$. Вершина находится в точке $(0, -4)$. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 4 = 0$, откуда $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Построим график функции $y = 2 - x$. Это прямая. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=2$ (точка $(0, 2)$); если $y=0$, то $x=2$ (точка $(2, 0)$).

3. Найдем координаты точек пересечения графиков аналитически. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 - 4 = 2 - x$
$x^2 + x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = 2 - x$:
Если $x_1 = -3$, то $y_1 = 2 - (-3) = 5$.
Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 2 - 2 = 0$.
Таким образом, точки пересечения: $(-3, 5)$ и $(2, 0)$.

4. Проверим результат подстановкой.
Для точки $(-3, 5)$:
$y = x^2 - 4 \Rightarrow 5 = (-3)^2 - 4 \Rightarrow 5 = 9 - 4 \Rightarrow 5 = 5$ (верно).
$y = 2 - x \Rightarrow 5 = 2 - (-3) \Rightarrow 5 = 5$ (верно).
Для точки $(2, 0)$:
$y = x^2 - 4 \Rightarrow 0 = 2^2 - 4 \Rightarrow 0 = 4 - 4 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).
$y = 2 - x \Rightarrow 0 = 2 - 2 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).

Ответ: $(-3, 5)$, $(2, 0)$.

б) $y = x^2 + 4x + 3$ и $y = x + 3$

1. Построим график функции $y = x^2 + 4x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$; $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(-2, -1)$. Точки пересечения с осью Ox: $x^2 + 4x + 3 = 0$, откуда по теореме Виета $x_1 = -3$, $x_2 = -1$. Точки $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$. Пересечение с осью Oy: $y(0) = 3$, точка $(0, 3)$.

2. Построим график функции $y = x + 3$. Это прямая. Точки для построения: если $x=0$, то $y=3$ (точка $(0, 3)$); если $x=-3$, то $y=0$ (точка $(-3, 0)$).

3. Найдем координаты точек пересечения аналитически:
$x^2 + 4x + 3 = x + 3$
$x^2 + 3x = 0$
$x(x + 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = x + 3$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0 + 3 = 3$.
Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -3 + 3 = 0$.
Точки пересечения: $(0, 3)$ и $(-3, 0)$.

4. Проверим результат подстановкой.
Для точки $(0, 3)$:
$y = x^2 + 4x + 3 \Rightarrow 3 = 0^2 + 4(0) + 3 \Rightarrow 3 = 3$ (верно).
$y = x + 3 \Rightarrow 3 = 0 + 3 \Rightarrow 3 = 3$ (верно).
Для точки $(-3, 0)$:
$y = x^2 + 4x + 3 \Rightarrow 0 = (-3)^2 + 4(-3) + 3 = 9 - 12 + 3 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).
$y = x + 3 \Rightarrow 0 = -3 + 3 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).

Ответ: $(-3, 0)$, $(0, 3)$.

в) $y = 9 - x^2$ и $y + x = 7$

1. Преобразуем второе уравнение к виду $y = 7 - x$.
2. Построим график функции $y = 9 - x^2$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_0 = -\frac{0}{2(-1)} = 0$; $y_0 = 9 - 0^2 = 9$. Вершина в точке $(0, 9)$. Точки пересечения с осью Ox: $9 - x^2 = 0$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = 3$. Точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Построим график функции $y = 7 - x$. Это прямая. Точки для построения: если $x=0$, то $y=7$ (точка $(0, 7)$); если $x=7$, то $y=0$ (точка $(7, 0)$).

4. Найдем координаты точек пересечения аналитически:
$9 - x^2 = 7 - x$
$0 = x^2 - x - 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$ из $y = 7 - x$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 7 - 2 = 5$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 7 - (-1) = 8$.
Точки пересечения: $(2, 5)$ и $(-1, 8)$.

5. Проверим результат подстановкой.
Для точки $(2, 5)$:
$y = 9 - x^2 \Rightarrow 5 = 9 - 2^2 \Rightarrow 5 = 9 - 4 \Rightarrow 5 = 5$ (верно).
$y + x = 7 \Rightarrow 5 + 2 = 7 \Rightarrow 7 = 7$ (верно).
Для точки $(-1, 8)$:
$y = 9 - x^2 \Rightarrow 8 = 9 - (-1)^2 \Rightarrow 8 = 9 - 1 \Rightarrow 8 = 8$ (верно).
$y + x = 7 \Rightarrow 8 + (-1) = 7 \Rightarrow 7 = 7$ (верно).

Ответ: $(-1, 8)$, $(2, 5)$.

г) $y = 2x - x^2$ и $x + y = 0$

1. Преобразуем второе уравнение к виду $y = -x$.
2. Построим график функции $y = 2x - x^2$ или $y = -x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_0 = -\frac{2}{2(-1)} = 1$; $y_0 = 2(1) - 1^2 = 1$. Вершина в точке $(1, 1)$. Точки пересечения с осью Ox: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x) = 0$, откуда $x_1=0$, $x_2=2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

3. Построим график функции $y = -x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, -1)$.

4. Найдем координаты точек пересечения аналитически:
$2x - x^2 = -x$
$3x - x^2 = 0$
$x(3 - x) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Найдем соответствующие значения $y$ из $y = -x$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -0 = 0$.
Если $x_2 = 3$, то $y_2 = -3$.
Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(3, -3)$.

5. Проверим результат подстановкой.
Для точки $(0, 0)$:
$y = 2x - x^2 \Rightarrow 0 = 2(0) - 0^2 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).
$x + y = 0 \Rightarrow 0 + 0 = 0 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).
Для точки $(3, -3)$:
$y = 2x - x^2 \Rightarrow -3 = 2(3) - 3^2 \Rightarrow -3 = 6 - 9 \Rightarrow -3 = -3$ (верно).
$x + y = 0 \Rightarrow 3 + (-3) = 0 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).

Ответ: $(0, 0)$, $(3, -3)$.