Номер 268, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 268, страница 109.

268 График функции $y = f(x)$ пересекает оси координат в точках $A$, $B$ и $C$. Найдите неизвестную координату каждой из этих точек, если:

а) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$; $A(0; ...)$, $B(...; 0)$, $C(...; 0);$

б) $f(x) = -x^2 + 22x - 120$; $A(0; ...)$, $B(...; 0)$, $C(...; 0);$

в) $f(x) = -x^2 + 25$; $A(0; ...)$, $B(...; 0)$, $C(...; 0);$

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 8$; $A(0; ...)$, $B(...; 0)$, $C(...; 0).$

а) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$

График функции пересекает оси координат в точках A, B и C. Найдем неизвестные координаты этих точек.

1. Точка A(0; ...) — точка пересечения с осью ординат (осью Oy). Для нахождения ее y-координаты, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = f(0) = 3 \cdot (0)^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.

Таким образом, координаты точки A: $(0; 1)$.

2. Точки B(...; 0) и C(...; 0) — точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Для нахождения их x-координат, приравняем функцию к нулю ($y = f(x) = 0$):

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Таким образом, координаты точек B и C: $(\frac{1}{3}; 0)$ и $(1; 0)$.

Ответ: $A(0; 1)$, $B(\frac{1}{3}; 0)$, $C(1; 0)$.

б) $f(x) = -x^2 + 22x - 120$

1. Точка A(0; ...) — точка пересечения с осью Oy. Подставим $x=0$:

$y = f(0) = -(0)^2 + 22 \cdot 0 - 120 = -120$.

Координаты точки A: $(0; -120)$.

2. Точки B(...; 0) и C(...; 0) — точки пересечения с осью Ox. Приравняем $f(x)$ к нулю:

$-x^2 + 22x - 120 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$x^2 - 22x + 120 = 0$

Решим с помощью дискриминанта:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 484 - 480 = 4$.

Корни уравнения: $x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{22 \pm 2}{2}$.

$x_1 = \frac{22 - 2}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

$x_2 = \frac{22 + 2}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Координаты точек B и C: $(10; 0)$ и $(12; 0)$.

Ответ: $A(0; -120)$, $B(10; 0)$, $C(12; 0)$.

в) $f(x) = -x^2 + 25$

1. Точка A(0; ...) — точка пересечения с осью Oy. Подставим $x=0$:

$y = f(0) = -(0)^2 + 25 = 25$.

Координаты точки A: $(0; 25)$.

2. Точки B(...; 0) и C(...; 0) — точки пересечения с осью Ox. Приравняем $f(x)$ к нулю:

$-x^2 + 25 = 0$

$x^2 = 25$

$x = \pm\sqrt{25}$

$x_1 = -5$, $x_2 = 5$.

Координаты точек B и C: $(-5; 0)$ и $(5; 0)$.

Ответ: $A(0; 25)$, $B(-5; 0)$, $C(5; 0)$.

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 8$

1. Точка A(0; ...) — точка пересечения с осью Oy. Подставим $x=0$:

$y = f(0) = \frac{1}{2}(0)^2 - 8 = -8$.

Координаты точки A: $(0; -8)$.

2. Точки B(...; 0) и C(...; 0) — точки пересечения с осью Ox. Приравняем $f(x)$ к нулю:

$\frac{1}{2}x^2 - 8 = 0$

$\frac{1}{2}x^2 = 8$

$x^2 = 16$

$x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = -4$, $x_2 = 4$.

Координаты точек B и C: $(-4; 0)$ и $(4; 0)$.

Ответ: $A(0; -8)$, $B(-4; 0)$, $C(4; 0)$.