Номер 261, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 261, страница 104.

261 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 1, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 2 - x^2, & \text{если } x < 0 \\ x^2 - 2, & \text{если } x \ge 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < -1 \\ 2x^2 - 1, & \text{если } |x| \le 1 \\ x, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} -(x + 3)^2, & \text{если } x < -3 \\ 0, & \text{если } |x| \le 3 \\ (x - 3)^2, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

Рис. 2.33

а) Чтобы построить график данной кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$, рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $x \ge 0$ функция задается формулой $y = x^2 + 1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Поскольку мы рассматриваем промежуток $x \ge 0$, нам нужна только правая ветвь этой параболы, включая ее вершину. Для построения найдем еще одну точку, например, при $x=2$, $y = 2^2 + 1 = 5$. Точка $(2, 5)$ принадлежит графику.

2. На промежутке $x < 0$ функция задается формулой $y = -x^2 - 1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Ее можно получить из параболы $y = -x^2$ сдвигом на 1 единицу вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Поскольку мы рассматриваем промежуток $x < 0$, нам нужна только левая ветвь этой параболы. Точка $(0, -1)$ не принадлежит этой части графика, поэтому ее отмечают выколотой (пустым кружком). Для построения найдем еще одну точку, например, при $x=-2$, $y = -(-2)^2 - 1 = -5$. Точка $(-2, -5)$ принадлежит графику.

Соединив эти две части, мы получаем итоговый график.

Ответ: График состоит из двух непересекающихся ветвей парабол. Первая — правая ветвь параболы $y = x^2 + 1$ с вершиной в точке $(0, 1)$. Вторая — левая ветвь параболы $y = -x^2 - 1$, которая приближается к выколотой точке $(0, -1)$.

б) Чтобы построить график функции $y = \begin{cases} 2 - x^2, & \text{если } x < 0 \\ x^2 - 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$, рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $x < 0$ функция задается формулой $y = 2 - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 2)$. Мы строим только левую часть этой параболы (для $x < 0$). Точка $(0, 2)$ не принадлежит этой части графика и является выколотой. Возьмем контрольную точку: при $x = -2$, $y = 2 - (-2)^2 = 2 - 4 = -2$. Точка $(-2, -2)$ принадлежит графику.

2. На промежутке $x \ge 0$ функция задается формулой $y = x^2 - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -2)$. Мы строим только правую часть этой параболы (для $x \ge 0$), включая вершину. Возьмем контрольную точку: при $x = 2$, $y = 2^2 - 2 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику.

Объединив обе части, получаем итоговый график.

Ответ: График состоит из двух непересекающихся ветвей парабол. Первая — левая ветвь параболы $y = 2 - x^2$, приближающаяся к выколотой точке $(0, 2)$. Вторая — правая ветвь параболы $y = x^2 - 2$ с вершиной в точке $(0, -2)$.

в) Чтобы построить график функции $y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < -1 \\ 2x^2 - 1, & \text{если } |x| \le 1 \\ x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$, разобьем ее на три участка.

1. На промежутке $x < -1$ строим график линейной функции $y = x + 2$. Это прямая. Для построения луча найдем его конечную точку (выколотую) и еще одну точку. При $x = -1$, $y = -1 + 2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ — выколотая. При $x = -3$, $y = -3 + 2 = -1$. Строим луч, проходящий через $(-3, -1)$ и заканчивающийся в $(-1, 1)$.

2. На промежутке $|x| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le x \le 1$, строим график функции $y = 2x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы в точке $(0, -1)$. Найдем значения на концах отрезка: при $x=-1$, $y=2(-1)^2-1=1$; при $x=1$, $y=2(1)^2-1=1$. Таким образом, мы строим участок параболы между точками $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ (включительно), проходящий через вершину $(0, -1)$.

3. На промежутке $x > 1$ строим график линейной функции $y = x$. Это прямая. Строим луч, начинающийся в выколотой точке $(1, 1)$ и проходящий, например, через точку $(2, 2)$.

Заметим, что в точках $x = -1$ и $x = 1$ части графика стыкуются. В точке $x=-1$ первая часть заканчивается, а вторая начинается в точке $(-1, 1)$. В точке $x=1$ вторая часть заканчивается, а третья начинается в точке $(1, 1)$. Таким образом, график является непрерывной линией.

Ответ: График представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: луча прямой $y=x+2$ до точки $(-1, 1)$, участка параболы $y=2x^2-1$ от $(-1, 1)$ до $(1, 1)$, и луча прямой $y=x$ от точки $(1, 1)$.

г) Чтобы построить график функции $y = \begin{cases} -(x+3)^2, & \text{если } x < -3 \\ 0, & \text{если } |x| \le 3 \\ (x-3)^2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$, рассмотрим три участка.

1. На промежутке $x < -3$ строим график функции $y = -(x+3)^2$. Это парабола, полученная сдвигом параболы $y = -x^2$ на 3 единицы влево. Ее вершина находится в точке $(-3, 0)$, ветви направлены вниз. Мы строим левую ветвь этой параболы, при этом точка $(-3, 0)$ выколота. Возьмем контрольную точку: при $x=-4$, $y=-(-4+3)^2=-1$.

2. На промежутке $|x| \le 3$, то есть $-3 \le x \le 3$, функция равна $y = 0$. Графиком является отрезок оси абсцисс от точки $(-3, 0)$ до точки $(3, 0)$ включительно.

3. На промежутке $x > 3$ строим график функции $y = (x-3)^2$. Это парабола, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 3 единицы вправо. Ее вершина находится в точке $(3, 0)$, ветви направлены вверх. Мы строим правую ветвь этой параболы, при этом точка $(3, 0)$ выколота. Возьмем контрольную точку: при $x=4$, $y=(4-3)^2=1$.

В точках $x = -3$ и $x = 3$ части графика стыкуются в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ соответственно, образуя непрерывную линию.

Ответ: График является непрерывной линией, состоящей из левой ветви параболы $y=-(x+3)^2$ (для $x<-3$), отрезка оси Ох от $x=-3$ до $x=3$, и правой ветви параболы $y=(x-3)^2$ (для $x>3$).