Номер 259, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 259, страница 104.

Ищем способ решения (259–260)

259 В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y = |x|$, $y = |x| - 2$, $y = |x - 2|$;

б) $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x - 4}$, $y = \sqrt{x} - 4$;

в) $y = x^3$, $y = x^3 + 2$, $y = (x + 2)^3$.

а) Для построения графиков функций $y = |x|$, $y = |x| - 2$ и $y = |x - 2|$ будем использовать метод преобразования графиков.

1. Базовый график: $y = |x|$. Это график модуля, который представляет собой две линии, выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

2. График функции $y = |x| - 2$: Этот график получается из графика $y = |x|$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Каждая точка графика $y = |x|$ смещается на 2 вниз. Вершина нового графика будет в точке $(0, -2)$.

3. График функции $y = |x - 2|$: Этот график получается из графика $y = |x|$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 2 единицы вправо. Каждая точка графика $y = |x|$ смещается на 2 вправо. Вершина нового графика будет в точке $(2, 0)$.

Таким образом, все три графика имеют одинаковую V-образную форму, но с разными вершинами.

Ответ: В одной системе координат строятся три графика. Первый, $y = |x|$, — "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$. Второй, $y = |x| - 2$, — такая же "галочка", но смещенная на 2 единицы вниз, с вершиной в $(0, -2)$. Третий, $y = |x - 2|$, — такая же "галочка", но смещенная на 2 единицы вправо, с вершиной в $(2, 0)$.

б) Для построения графиков функций $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x} - 4$ и $y = \sqrt{x - 4}$ также используем преобразования.

1. Базовый график: $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$. Область определения функции: $x \ge 0$.

2. График функции $y = \sqrt{x} - 4$: Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 4 единицы вниз по оси $Oy$. Начальная точка графика смещается из $(0, 0)$ в $(0, -4)$. Область определения остается $x \ge 0$.

3. График функции $y = \sqrt{x - 4}$: Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 4 единицы вправо по оси $Ox$. Начальная точка графика смещается из $(0, 0)$ в $(4, 0)$. Область определения функции: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

Все три графика являются ветвями параболы, но начинаются в разных точках.

Ответ: В одной системе координат строятся три графика. Первый, $y = \sqrt{x}$, — ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0, 0)$. Второй, $y = \sqrt{x} - 4$, — такой же график, но смещенный на 4 единицы вниз, его начальная точка — $(0, -4)$. Третий, $y = \sqrt{x - 4}$, — такой же график, но смещенный на 4 единицы вправо, его начальная точка — $(4, 0)$.

в) Для построения графиков функций $y = x^3$, $y = x^3 + 2$ и $y = (x + 2)^3$ используем преобразования.

1. Базовый график: $y = x^3$. Это кубическая парабола, проходящая через начало координат, которое является точкой перегиба. График симметричен относительно начала координат. Проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

2. График функции $y = x^3 + 2$: Этот график получается из графика $y = x^3$ путем сдвига на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Точка перегиба смещается из $(0, 0)$ в $(0, 2)$.

3. График функции $y = (x + 2)^3$: Этот график получается из графика $y = x^3$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси $Ox$. Точка перегиба смещается из $(0, 0)$ в $(-2, 0)$.

Все три графика — кубические параболы одинаковой формы, но с разным положением центра симметрии (точки перегиба).

Ответ: В одной системе координат строятся три кубические параболы. Первая, $y = x^3$, проходит через начало координат $(0, 0)$. Вторая, $y = x^3 + 2$, — такая же кривая, но смещенная на 2 единицы вверх; ее точка перегиба находится в $(0, 2)$. Третья, $y = (x + 2)^3$, — такая же кривая, но смещенная на 2 единицы влево; ее точка перегиба находится в $(-2, 0)$.