Номер 253, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 253, страница 102.

253 Постройте параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 2$. Постройте параболу, симметричную данной относительно оси $x$, и задайте её уравнением.

Постройте параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 2$

Графиком функции $y = x^2 + 2$ является парабола. Эту параболу можно получить из графика основной параболы $y = x^2$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (оси $Oy$) на 2 единицы вверх.

1. Вершина параболы: Вершина параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. При сдвиге на 2 единицы вверх, вершина параболы $y = x^2 + 2$ перемещается в точку $(0, 2)$.
2. Ось симметрии: Осью симметрии для обеих парабол является ось $Oy$, то есть прямая $x = 0$.
3. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
4. Таблица точек для построения: Чтобы построить график более точно, найдем несколько точек, принадлежащих параболе.
   

   $x$	$y = x^2 + 2$
   -2	$(-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$
   -1	$(-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$
   0	$0^2 + 2 = 2$
   1	$1^2 + 2 = 1 + 2 = 3$
   2	$2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0, 2)$ и найденные точки $(-2, 6)$, $(-1, 3)$, $(1, 3)$, $(2, 6)$, а затем соединить их плавной линией.

Ответ: Парабола $y = x^2 + 2$ с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которой направлены вверх, ось симметрии — прямая $x = 0$.

---

Постройте параболу, симметричную данной относительно оси x, и задайте её уравнением

Симметрия графика функции относительно оси абсцисс (оси $Ox$) означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, на симметричном графике будет точка $(x_0, -y_0)$.

1. Получение уравнения:
   Чтобы найти уравнение параболы, симметричной данной $y = x^2 + 2$ относительно оси $Ox$, нужно в исходном уравнении заменить $y$ на $-y$.
   $-y = x^2 + 2$
   Умножим обе части уравнения на -1, чтобы выразить $y$:
   $y = -(x^2 + 2)$
   $y = -x^2 - 2$
   Это и есть искомое уравнение.
2. Построение графика:
   График функции $y = -x^2 - 2$ является параболой, которая симметрична параболе $y = x^2 + 2$ относительно оси $Ox$.
   • Вершина параболы: Вершина исходной параболы $(0, 2)$ при симметрии относительно оси $Ox$ переходит в точку $(0, -2)$.
   • Ось симметрии: Ось симметрии остается прежней — прямая $x = 0$.
   • Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число), поэтому ветви параболы направлены вниз.
   • Таблица точек: Точки для построения можно получить из предыдущей таблицы, изменив знак координаты $y$ на противоположный.
     

     $x$	$y = -x^2 - 2$
     -2	$-(-2)^2 - 2 = -4 - 2 = -6$
     -1	$-(-1)^2 - 2 = -1 - 2 = -3$
     0	$-0^2 - 2 = -2$
     1	$-1^2 - 2 = -1 - 2 = -3$
     2	$-2^2 - 2 = -4 - 2 = -6$

Для построения графика нужно отметить на той же координатной плоскости новую вершину $(0, -2)$ и точки $(-2, -6)$, $(-1, -3)$, $(1, -3)$, $(2, -6)$ и соединить их плавной линией.

Ответ: Уравнение параболы, симметричной данной относительно оси $x$, имеет вид $y = -x^2 - 2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которой направлены вниз.