Номер 258, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 258, страница 104.

258 Постройте график функции:

a) $y = -x^2 - 2x + 1;$

б) $y = 2x^2 - 4x + 6;$

в) $y = x^2 - x + 2;$

г) $y = 2x^2 + 8x.$

Указание. Приведите формулу к виду $y = a(x + p)^2 + q.$

а) Для построения графика функции $y = -x^2 - 2x + 1$ приведем ее к виду $y = a(x+p)^2+q$, выделив полный квадрат.
$y = -x^2 - 2x + 1 = -(x^2 + 2x) + 1$
Чтобы в скобках получился полный квадрат, добавим и вычтем 1:
$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -((x + 1)^2 - 1) + 1 = -(x + 1)^2 + 1 + 1 = -(x + 1)^2 + 2$
Графиком функции является парабола, полученная из графика $y = -x^2$ сдвигом на 1 единицу влево по оси абсцисс и на 2 единицы вверх по оси ординат.
Основные характеристики для построения:
1. Коэффициент $a = -1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(-1, 2)$.
3. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$.
4. Найдем несколько точек для построения:
- При $x = 0$, $y = -0^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- Точка, симметричная $(0, 1)$ относительно оси $x=-1$, — это точка $(-2, 1)$.
- При $x = 1$, $y = -(1)^2 - 2(1) + 1 = -2$. Точка $(1, -2)$.
Ответ: График функции $y = -x^2 - 2x + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(-1, 2)$ и ветвями, направленными вниз. Ключевые точки для построения: $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(-2, 1)$, $(1, -2)$.

б) Для построения графика функции $y = 2x^2 - 4x + 6$ выделим полный квадрат.
$y = 2(x^2 - 2x) + 6$
Добавим и вычтем 1 в скобках:
$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 6 = 2((x - 1)^2 - 1) + 6 = 2(x - 1)^2 - 2 + 6 = 2(x - 1)^2 + 4$
Графиком функции является парабола, полученная из графика $y = 2x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо и на 4 единицы вверх.
Основные характеристики для построения:
1. Коэффициент $a = 2 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы находится в точке $(1, 4)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = 1$.
4. Найдем несколько точек для построения:
- При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.
- Точка, симметричная $(0, 6)$ относительно оси $x=1$, — это точка $(2, 6)$.
Ответ: График функции $y = 2x^2 - 4x + 6$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 4)$ и ветвями, направленными вверх. Ключевые точки для построения: $(1, 4)$, $(0, 6)$, $(2, 6)$.

в) Для построения графика функции $y = x^2 - x + 2$ выделим полный квадрат.
$y = (x^2 - x) + 2$
Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем $(1/2)^2 = 1/4$:
$y = (x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 2 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$
Графиком функции является парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на $1/2$ единицы вправо и на $7/4$ единицы вверх.
Основные характеристики для построения:
1. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$ или $(0.5, 1.75)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = 1/2$.
4. Найдем несколько точек для построения:
- При $x = 0$, $y = 0^2 - 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
- Точка, симметричная $(0, 2)$ относительно оси $x=1/2$, — это точка $(1, 2)$.
Ответ: График функции $y = x^2 - x + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$ и ветвями, направленными вверх. Ключевые точки для построения: $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$, $(0, 2)$, $(1, 2)$.

г) Для построения графика функции $y = 2x^2 + 8x$ выделим полный квадрат.
$y = 2(x^2 + 4x)$
Добавим и вычтем 4 в скобках:
$y = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) = 2((x + 2)^2 - 4) = 2(x + 2)^2 - 8$
Графиком функции является парабола, полученная из графика $y = 2x^2$ сдвигом на 2 единицы влево и на 8 единиц вниз.
Основные характеристики для построения:
1. Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы находится в точке $(-2, -8)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = -2$.
4. Найдем точки пересечения с осями координат:
- При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- При $y = 0$, $2x^2 + 8x = 0 \Rightarrow 2x(x+4) = 0$, откуда $x_1=0, x_2=-4$. Точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.
Ответ: График функции $y = 2x^2 + 8x$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, -8)$ и ветвями, направленными вверх. Ключевые точки для построения: $(-2, -8)$, $(0, 0)$, $(-4, 0)$.