Номер 252, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 252, страница 102.

Б

252 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Задайте формулой каждую функцию, график которой изображён на рисунке 2.31.

253 Постройте параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 2$. Постройте параболу, симметричную данной относительно оси $x$, и задайте её уравнением.

Рис. 2.31

252.

Все три графика являются параболами. Для нахождения их уравнений будем использовать вершинную форму $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

1) Парабола ① (розовая, ветви вверх)

• Вершина находится в точке $(0, -1)$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 0)^2 - 1$, то есть $y = ax^2 - 1$.
• График проходит через точку $(2, 3)$. Подставим эти координаты в уравнение для нахождения $a$:
  $3 = a \cdot 2^2 - 1 \implies 3 = 4a - 1 \implies 4a = 4 \implies a = 1$.
• Формула функции: $y = x^2 - 1$.

2) Парабола ② (розовая, ветви вниз)

• Вершина находится в точке $(0, 3)$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 0)^2 + 3$, то есть $y = ax^2 + 3$.
• График проходит через точку $(1, 0)$. Подставим эти координаты в уравнение:
  $0 = a \cdot 1^2 + 3 \implies 0 = a + 3 \implies a = -3$.
• Формула функции: $y = -3x^2 + 3$.

3) Парабола ③ (черная, ветви вверх)

• Вершина находится в точке $(0, -3)$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 0)^2 - 3$, то есть $y = ax^2 - 3$.
• График проходит через точку $(2, 1)$. Подставим эти координаты в уравнение:
  $1 = a \cdot 2^2 - 3 \implies 1 = 4a - 3 \implies 4a = 4 \implies a = 1$.
• Формула функции: $y = x^2 - 3$.

Ответ: 1) $y = x^2 - 1$; 2) $y = -3x^2 + 3$; 3) $y = x^2 - 3$.

---

253.

Задача состоит из двух частей: построение параболы $y = x^2 + 2$ и нахождение уравнения параболы, симметричной ей относительно оси Ox.

Часть 1: Построение параболы $y = x^2 + 2$

График функции $y = x^2 + 2$ — это парабола, которую можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Основные характеристики для построения:

• Вершина: находится в точке $(0, 2)$.
• Направление ветвей: вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).
• Ось симметрии: ось Oy ($x=0$).
• Контрольные точки:
  При $x= \pm 1$, $y = (\pm 1)^2 + 2 = 3$. Точки $(-1, 3)$ и $(1, 3)$.
  При $x= \pm 2$, $y = (\pm 2)^2 + 2 = 6$. Точки $(-2, 6)$ и $(2, 6)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы построим график параболы.

Часть 2: Нахождение уравнения симметричной параболы

График, симметричный графику функции $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox), задается уравнением $y = -f(x)$. В нашем случае $f(x) = x^2 + 2$. Тогда уравнение симметричной параболы будет:

$y = -(x^2 + 2)$

Раскрыв скобки, получаем окончательное уравнение:

$y = -x^2 - 2$

Это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: Уравнение параболы, симметричной данной относительно оси x: $y = -x^2 - 2$.