Номер 254, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 254, страница 103.

254 Параболу $y = x^2$ сдвинули на несколько единиц вдоль оси $x$ так, что она прошла через точку $M$. Запишите формулу, соответствующую новой параболе, если точка $M$ имеет координаты:

а) $x = 0, y = 4$;

б) $x = -4, y = 4$.

Сколько решений имеет задача в каждом случае?

Исходная парабола задана уравнением $y = x^2$. Когда параболу сдвигают на несколько единиц вдоль оси $x$, ее уравнение принимает вид $y = (x - a)^2$, где $a$ — это величина сдвига (абсцисса новой вершины параболы). Чтобы найти значение $a$, нужно подставить координаты точки $M(x, y)$, через которую проходит сдвинутая парабола, в это уравнение.

а)

Дана точка $M$ с координатами $x = 0, y = 4$. Подставим эти значения в уравнение $y = (x - a)^2$:
$4 = (0 - a)^2$
$4 = (-a)^2$
$a^2 = 4$
Данное уравнение имеет два корня: $a_1 = 2$ и $a_2 = -2$.
Это означает, что существуют две параболы, удовлетворяющие условию задачи:
1. Если $a = 2$, формула параболы: $y = (x - 2)^2$.
2. Если $a = -2$, формула параболы: $y = (x - (-2))^2 = (x + 2)^2$.
Таким образом, задача имеет два решения.
Ответ: $y = (x - 2)^2$ и $y = (x + 2)^2$. Задача имеет два решения.

б)

Дана точка $M$ с координатами $x = -4, y = 4$. Подставим эти значения в уравнение $y = (x - a)^2$:
$4 = (-4 - a)^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных равенства:
1. $-4 - a = 2$
2. $-4 - a = -2$
Решим каждое уравнение относительно $a$:
1. Из $-4 - a = 2$ получаем $a = -4 - 2$, то есть $a_1 = -6$.
2. Из $-4 - a = -2$ получаем $a = -4 + 2$, то есть $a_2 = -2$.
Следовательно, мы снова получаем два уравнения для парабол:
1. Если $a = -6$, формула параболы: $y = (x - (-6))^2 = (x + 6)^2$.
2. Если $a = -2$, формула параболы: $y = (x - (-2))^2 = (x + 2)^2$.
Задача в этом случае также имеет два решения.
Ответ: $y = (x + 6)^2$ и $y = (x + 2)^2$. Задача имеет два решения.