Номер 260, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 260, страница 104.

260 На рисунке 2.33 изображён график функции $y = f(x)$. Перенесите рисунок в тетрадь и в той же системе координат постройте график функции:

а) $y = f(x) + 4$;

б) $y = f(x + 3)$.

261 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} x^2 + 1, \text{ если } x \ge 0 \\ -x^2 - 1, \text{ если } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 2-x^2, \text{ если } x < 0 \end{cases}$

Рис. 2.33

260

a) Для построения графика функции $y = f(x) + 4$ необходимо выполнить преобразование исходного графика $y = f(x)$. Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика вдоль оси ординат $Oy$. Поскольку к значению функции прибавляется положительное число 4, сдвиг выполняется вверх на 4 единицы. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0, y_0 + 4)$. Например, проанализируем перемещение ключевых точек с исходного графика: точка $(0, -2)$ перейдет в точку $(0, -2 + 4) = (0, 2)$; точка $(1, 0)$ перейдет в точку $(1, 0 + 4) = (1, 4)$; точка $(4, 2)$ перейдет в точку $(4, 2 + 4) = (4, 6)$. Таким образом, новый график будет иметь ту же форму, что и исходный, но будет смещен на 4 единицы вверх.

Ответ: График функции $y = f(x) + 4$ получается путем сдвига графика функции $y = f(x)$ на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

б) Для построения графика функции $y = f(x + 3)$ необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс $Ox$. Поскольку к аргументу $x$ прибавляется положительное число 3, сдвиг выполняется влево на 3 единицы. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0 - 3, y_0)$. Например, проанализируем перемещение ключевых точек: точка $(0, -2)$ перейдет в точку $(0 - 3, -2) = (-3, -2)$; точка $(1, 0)$ перейдет в точку $(1 - 3, 0) = (-2, 0)$; точка $(4, 2)$ перейдет в точку $(4 - 3, 2) = (1, 2)$. Таким образом, новый график будет иметь ту же форму, что и исходный, но будет смещен на 3 единицы влево.

Ответ: График функции $y = f(x + 3)$ получается путем сдвига графика функции $y = f(x)$ на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

261

a) Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Для построения ее графика необходимо построить график каждой части на соответствующем промежутке.

1. При $x \ge 0$ строим график функции $y = x^2 + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Поскольку условие $x \ge 0$, мы строим только правую ветвь этой параболы, включая точку $(0, 1)$. Контрольные точки: $(1, 1^2+1=2)$, $(2, 2^2+1=5)$.

2. При $x < 0$ строим график функции $y = -x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, смещенная на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Поскольку условие $x < 0$, мы строим только левую ветвь этой параболы. Точка $(0, -1)$ не принадлежит графику, поэтому ее отмечают выколотой (пустым кружком). Контрольные точки: $(-1, -(-1)^2-1=-2)$, $(-2, -(-2)^2-1=-5)$.

Итоговый график состоит из двух этих ветвей.

Ответ: График функции состоит из двух частей: правой ветви параболы $y=x^2+1$ с вершиной в точке $(0, 1)$ для $x \ge 0$ и левой ветви параболы $y=-x^2-1$ с выколотой вершиной в точке $(0, -1)$ для $x < 0$.

б) Условие задачи для этого пункта представлено не полностью. Видна только часть определения функции: $y = 2 - x^2$, если $x < 0$. Для полного построения графика необходимо знать, как функция определяется при $x \ge 0$.

Можно построить ту часть графика, которая задана. Для $x < 0$ строим график функции $y = 2 - x^2$. Это парабола $y = -x^2$, смещенная на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 2)$. Так как $x < 0$, мы строим только левую ветвь параболы. Точка $(0, 2)$ не принадлежит этой части графика, поэтому она будет выколотой. Контрольные точки: $(-1, 2-(-1)^2=1)$, $(-2, 2-(-2)^2=-2)$.

Ответ: Построить полный график функции невозможно, так как ее определение неполное. Для $x < 0$ график является левой ветвью параболы $y = 2 - x^2$ с выколотой точкой в $(0, 2)$.